6.8.2. Квадратичные формы

Дана квадратичная форма F(x₁,x₂) = a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂^2. Выяснить, является ли она положительно определенной методом Сильвестра и методом собственных значений.

1. В соответствии с критерием Сильвестра, для того, чтобы квадратичная форма F была положительно (или отрицательно), определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные (диагональные) миноры матрицы формы А были одного знака

⁸⁹

Пусть F(x₁,x₂) = 11x₁² + 8x₁x₂ + 5x₂². Прежде всего, запишем матрицу А квадратичной формы. В этой матрице элементы a₁₁, a₁₂ совпадают с одноименными коэффициентами квадратичной формы, но a₁₂ и a₂₁ получим, деля коэффициент a₁₂ формы на 2.

Вычислим ее главные миноры:

Т. к. оба главных минора больше 0, то по критерию Сильвестра форма положительно определена.

2. Для того, чтобы форма F(x₁,x₂) была положительно (отрицательно) определена, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А были вещественны и положительны (отрицательны). Решая характеристическое уравнение det(A – E) = 0, получим

Т. к. все собственные числа матрицы А больше нуля, форма положительно определена.

1 Перепишите три последних равенства, заменяя символ « » символом «+», а символ « » символом «». Очевидно, что символу пустого множества при такой замене соответствует число 0.

2 Обратите внимание на расхождение с бытовой речью: предложение «выпишите фамилии всех отличников и всех киевлян» означает найти всех лиц, которые либо являются отличниками, либо киевлянами (совпадение допускается), т. е. по смыслу соответствует логическому «или».

3 Между множествами X и Y установлено взаимно однозначное соответствие, если

xX  yY: y = f(x);

 yY  xX: y = f(x);

(y = f(x)  x₁  x₂ )  y₁  y₂;

(y = f(x)  y₁  y₂ )  x₁  x_2.

4 Степень многочлена определяется по самой высокой степени, коэффициент при которой не равен 0.

5 Типичный пример: многочлен степени n это линейная комбинация степеней х от нулевой до n-ой.

6 Напомним: «совокупность», «набор», «система» - синонимы.

7 Т.е., если один из векторов, а именно, вектор с номером k раскладывается по остальным

8 Попробуйте сами доказать, что из второго определения следует первое.

9 Напомним, что “разложить” значит представить в виде линейной комбинации.

10 Т. е. у двух разложений одного вектора по независимой системе векторов коэффициенты разложения обязательно совпадают – это критериальное свойство, т.е. им обладают все независимые системы и только они.

11 Справедливо и обратное – всякая полная и независимая система есть базис.

12 Вектор e₁ из базиса очевидно имеет координаты {1, 0, 0 …0}, следовательно ему соответствует столбец h₁, вектору e₂ соответствует столбец h₂ и т. д.

13 Если в х  М положить  = 0, получим 0  М.

14 Следует различать 0 и {0}, т. е. сам нуль-вектор и множество, состоящее из одного элемента – нуль-вектора.

15 Минимальным подпространством, содержащим два данных подпространства M и N, является их сумма: M + N = {x}: x₁M, x₂N, x = x₁ + x₂, т. е. сумма подпространств – это совокупность х, представимых в виде суммы двух элементов, один из которых принадлежит первому подпространству, а второй – второму.

16 Всего элементов в таком наборе векторов: n + (k – n) = k. Теорема фактически является следствием теоремы 1.

17 Транспонирование матрицы можно описать и как симметрию относительно главной диагонали. Отметим, что транспонирование неквадратных матриц меняет их порядок, т. к. меняются местами число строк и число столбцов.

18 Не выполнено условие «число столбцов слева равно числу строк справа».

19 В этом и двух следующих параграфах всюду рассматриваются только квадратные матрицы.

20 То есть минор с теми же индексами i и j.

21 Алгебраическим дополнением элемента матрицы a_ik называется дополнение с теми же индексами A_ik.

22 Напомним, что, в отличие от определителя, общий множитель матрицы – это множитель всех ее элементов.

23 Разложение верхнего треугольного определителя порядка n по первому столбцу приводит к произведению a₁₁ на верхний треугольный определитель порядка n – 1.

24 Получим выражение, которое совпадает с разложением по r-ой строке, определителя, у которого элементы r-ой строки заменили элементами i-ой строки (отметим, что дополнения r-ой строки не зависят от элементов этой строки и при такой операции не изменятся). Такой определитель равен 0, т. к. у него две строки одинаковые (свойство 5).

25 Пример вычисления обратной матрицы приведен в разделе 5.

26 Напомним, что AB и BA вообще говоря, различные матрицы.

27 Вычислите произведение AB на (AB)^-1.

28 min(m,n) – наименьшее из чисел m и n.

29 Иногда указывают не только порядок минора, но и номера строк и столбцов, из которых он образован.

30 Сравните с определением размерности пространства – сходство отнюдь не случайное.

31 Т.о. требование линейности оператора фактически сводится к правилу раскрытия скобок – f(αx+βy) = αf(x) + βf(y).

32 Напомним, что если Ax = у, то у называется образом элемента x, а сам x  прообразом элемента у.

33 Т.е. это все элементы вида Ax, или, другими словами, все yY, которые имеют прообразы.

34 Прочтите словами!

35 У функционала размерность образа равна 1, поскольку векторы отображаются в вещественные числа (см. теорему 6).

36 Строго говоря, для определения умножения операторов не обязательно, чтобы оба оператора действовали в одном пространстве. Достаточно если область значений (образов) левого сомножителя принадлежала области определения правого сомножителя – если и то определен линейный оператор С = BA.

37 Учитывая, что x и b – вообще говоря, многомерные векторы, уравнение (2) можно рассматривать как векторную запись системы линейных уравнений.

38 «Соответствующего» – т. е. однородного уравнения с тем же оператором A.

39 Строго говоря, не обязательно, чтобы A отображал X в себя; результат всегда имеет место в том случае, когда размерность образа равна размерности прообраза.

40 «Общий» в смысле любой, а любой вектор из ядра, как и любое решение однородного уравнения, представляется в виде линейной комбинации базиса ядра .

41 Как видно из (8), совокупность всех решений есть подпространство, сдвинутое на вектор x₀ – «плоскость», не проходящая через начало координат (0-вектор).

42 Действительно, т. к. yIm_A найдется xX_n,такой что Ax = y. Т. к. x есть линейная комбинация базисных векторов , то y есть такая же линейная комбинация образов векторов e_i (напомним: столбцы a_i матрицы A содержат координаты образов базиса X_n).

43 (0)₃  нулевая матрица третьего порядка.

44 Напомним, что по столбцам стоят координаты образов базисных векторов.

45 Обратите внимание, что векторы e_i умножаются на элементы k-го столбца матрицы C, чтобы получить вектор .

46 Напомним, что = 1.

47 Напомним, что координаты k-го базисного вектора равны (0 0 …1 0…0), причем 1 стоит на k –м месте.

48 Т. е. оператор изменяет «длину» своего собственного вектора, но не изменяет «направления».

49 Действительно, если det(A –E)  0, т. е. если оператор A – E – невырожденный, то (13) имеет единственное решение – a = 0.

50 Отметим, что хотя матрица оператора меняется при переходе от базиса к базису, но определитель матрицы при этом не меняется. Т. к. характеристический многочлен это определитель, то и он является инвариантом, поэтому имеет смысл говорить о характеристическом многочлене и собственных числах оператора.

51 Здесь и далее до конца раздела сплошной линией отделены правые части уравнение от левых. Также до конца раздела число m будет обозначать число уравнений, а n – число неизвестных.

52 Это второй случай альтернативы Фредгольма (см. п. 4.3) при условии m = rg(A).

53 Это первый случай альтернативы Фредгольма.

54 Умножив обе части равенства (16) на матрицу A, убедимся, что Ax = b.

55 Здесь приведено разложение определителя третьего порядка по первой строке.

56 Параллельно изложению в общем виде, проведем все преобразования для конкретной системы 3-х уравнений с тремя неизвестными.

57 Напомним, что если мы переставляли столбцы, то в преобразованной матрице j-й столбец, вообще говоря, уже не отвечает неизвестному, которое в исходной матрице имело номер j. По окончании процедуры найденные величины нужно перенумеровать, восстановив исходный порядок.

58 Напомним, что общее решение уравнения Ax = b имеет вид x_общ = x₀ + ₁f₁ + ₂f₂ + … + _kf_k (см. формулу (8)).

59 Отметим, что, так как мы ищем решение однородного уравнения, то все b_i = 0.

60 Таким образом, фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется набор линейно независимых решений, по которому раскладывается любое решение, т. е. это базис ядра оператора A.

61 Матрица станет верхней треугольной, если поменять местами третий и четвертый столбцы.

62 Так определенные величины δ_ik называются символами Кронекера.

63 Действительно, пусть взаимно ортогональная система оказалась зависимой. Тогда в силу зависимости один вектор (пусть f₁) выражается через остальные: f₁ = ₂.f₂ +₃.f₃ +…+ _m.f_m. Т. к. в силу ортогональности (f_if_k) = 0 при i  k, умножая обе части равенства fкалярно на ff₁ получим (f₁f₂) = ₂ (f₂ f₂) + ₃ (f₃ f₂) +…+ _m (f_m f₁₂ =  ₂ 0 + ₃ 0 +…+ _m 0 (= 0, т. к. f₁ и f₂ взаимно перпендикулярны.для всех k≠1 С результате получим, (f₁f₁) = 0ч а значит f₁ = 0, что невозможно, т. к. по предположению система не содержит нуль-вектора.

64 Напомним, что векторы параллельны только если они пропорциональны, т. е. если a = b.

65 Если один из векторов в (28) нуль-вектор, то по определению полагаем  = /2, т. е. нуль-вектор по определению перпендикулярен любому вектору.

66 Т. е. направление это одномерное подпространство, за исключением нуль-вектора.

67 Точка С «лежит между» точками А и В, если существует число : 0<  <1, такое, что: С_х = А_х + (1-)В_х , С_у = А_у + (1-)В_у , С_z = А_z + (1-)В_z

68 Точка есть конец вектора с теми же координатами именно потому, что начальная точка вектора по умолчанию имеет нулевые координаты (см. (31)).

69 Переменные это величины, которые могут изменяться в пределах данного объекта, а параметрами называются величины, изменение которых приводит к смене объекта: например, оценки студента в текущей сессии есть его переменные, а имя и отчество  это его параметры.

70 Мы дали определение открытого шара. Иногда шаром называют замкнутое множество, т. е. множество, содержащее свою границу. В этом случае знак «<» в (35) нужно заменить на «»

71 Разумеется, строго говоря, вектор r–r₀ принадлежит не плоскости P, а параллельной ей плоскости, проходящей через начало координат.

72 Термин «нормаль» применяется не только по отношению к плоскости, но и к прямой, и к иным, в том числе, нелинейным, геометрическим объектам. Нормаль к объекту означает вектор, перпендикулярный к любому вектору, который данному объекту принадлежит. Отличие «кривых» объектов в том, что они в разных точках имеют разные нормали. Например, нормаль к сфере в данной точке это радиус, проведенный в данную точку. Он перпендикулярен любому вектору, который лежит в плоскости, касательной к сфере в данной точке. В этом же смысле радиус окружности есть нормаль к окружности. Очевидно, что нормали, построенные в разных точках сферы, не параллельны между собой.

73 Наше уравнение описывает плоскость как двумерное подпространство (плоскость, проходящую через начало координат), сдвинутое на вектор r₀. Такие объекты – «подпространства со сдвигом» – называются линейными многообразиями.

74 Какое бы значение z мы в уравнение плоскости не подставили, уравнение будет удовлетворено, и плоскость через точку с такими координатами пройдет.

75 Этот пункт носит характер развернутого замечания, показывающего, что всю теорию плоскостей можно было бы изложить с иной точки зрения  с точки зрения линейных функций. Отметим, что при таком подходе наличие скалярного произведения не является обязательным.

76 Разумеется, в пространстве любого числа измерений n можно построить теорию подпространств размерности n1 как ядер линейных функционалов и многообразий размерности n1 как соответствующих подпространств, сдвинутых на постоянный вектор. Такие многообразия размерности n1 в пространстве размерности n называются гиперплоскостями.

77 Напомним, что вектора параллельны только если их координаты пропорциональны.

78 Геометрически это соответствует умножению направляющего вектора t на число, при этом меняется его длина, но не меняется направление.

79 См. примечание 73.

80 Воспользуемся разложением определителя по третьему столбцу и тем, что k= 1.

81 Геометрически ясным становится равенство нулю определителя с зависимыми строками (столбцами). Зависимую систему n векторов можно разместить в (n–1)-мерном подпространстве, значит, n-мерный объем становится равным нулю.

82 Включая произведение на себя, т. е. включая квадраты переменных.

83 Во многих случаях в записи квадратичной формы приведены подобные члены и присутствует только одно из симметричных слагаемых: F(х₁, х₂) = х₁²  8 х₁х₂ + 3 х₂²  в данном примере отсутствует член х₂х₁. В таких случаях, составляя матрицу квадратичной формы, соответствующие элементы матрицы следует положить равными половине коэффициента формы. Так в приведенном примере a₁₂ = a₂₁ =  4.

84 В общем линейном пространстве (без скалярного произведения) можно рассматривать квадратичную форму в такой матричной записи F(х₁, х₂…х_n) = (х А х) где х означает вектор, а х - строку, полученную из этого вектора транспонированием

85 Напомним, что если существует число  и вектор х, такие, что А х =  х , то число  называется собственным числом матрицы А, а вектор х - собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному числу .

86 В уравнении прямой может появиться 0 в знаменателе (на 0 можно делить!), т. к. реального деления не происходит. 0 в знаменателе указывает на то, что прямая перпендикулярна оси (в данном случае – оси Y), и координата y вдоль прямой не изменяется, оставаясь равной –1. Т. е., если 0 оказался в знаменателе отношения, то и в числителе такого отношения должен стоять 0.

87 Напомним, что для прямой на плоскости есть две формы канонического уравнения – через нормаль и через параллельный (направляющий) вектор.

88 Мы вычисляем определитель путем разложения по элементам третьего столбца.

89 Здесь показано, как выглядит критерий для положительно определенной формы; при отрицательной определенности знаки неравенств чередуются, причем .

85