6.8.2. Векторы, длины, объемы

1 Вектор спроектировать на прямую L (вычислить длину проекции).

L: ▄

Вычислить проекцию вектора на прямую значит найти проекцию данного вектора на какой-либо вектор, параллельный прямой; в качестве такого вектора можно взять координаты направляющего вектор прямой. Если уравнение прямой записано в каноническом виде

,

то координаты направляющего вектора равны (m; n; p), в противном случае надо уравнение привести к каноническому виду. В случае прямой L необходимо числитель и знаменатель в первом отношении поделить на 2. Получим:

.

Теперь задача проектирования вектора на прямую сведена к задаче проектирования вектора на вектор. Длина проекции вектора на вектор

.

2. Вычислить угол между произведением [ ] и прямой

; причем ▄

Векторное произведение двух векторов вычисляется как определитель, в первой строке которого стоят базисные векторы, а во второй и третьей строке – координаты векторов-сомножителей.

Угол между вектором и прямой вычисляется как угол между вектором и направляющим вектором прямой . Используя скалярное произведение, получим

Т. е. угол между векторным произведением и прямой равен 0.46 рад.

3. Определить площадь треугольника ABC:

. ▄

Площадь треугольника вычисляется как половина площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Поэтому по трем вершинам треугольника вычислим координаты векторов-сторон .

;

4. Определить объём параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁

▄

Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю определителя, по столбцам которого стоят координаты этих векторов. По заданным четырем не лежащим в одной плоскости вершинам параллелепипеда можем построить три необходимых вектора. Для этого выберем одну вершину (например, А) в качестве начала, тогда в качестве трех порождающих параллелепипед векторов возьмем , координаты которых вычисляются как разности координат конечной и начальной точек.

.

Теперь мы можем вычислить объем как модуль определителя⁸⁸

.

Отметим, что таким же способом решается вопрос о независимости трех данных трехмерных векторов (столбцов высоты три). Если три вектора зависимы, то они лежат в одной плоскости. Тогда объем параллелепипеда, построенный на этих векторах, равен нулю (параллелепипед сплющился в параллелограмм). То есть, нужно вычислить определитель, по столбцам(строкам) которого стоят координаты векторов, и если он не равен 0, то вектора независимы, иначе – зависимы.

Вопрос о принадлежности четырех данных точек одной плоскости решается вполне аналогично. Выбрав одну из них в качестве начальной, по четырем точкам строим три вектора, вычисляя разности соответствующих координат. Таким образом, вопрос о принадлежности четырех точек одной плоскости сводится к уже изложенному вопросу о независимости трех векторов.

5. Провести плоскость через следующие три точки

▄

Напомним, что уравнение плоскости имеет вид:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0,

где (x₀,y₀,z₀) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора-нормали к плоскости. Таким образом, задача нахождения уравнения плоскости сводится к определению вектора-нормали и какой-либо точки, принадлежащей плоскости. В качестве такой точки можно взять любую из данных, например, A. Для нахождения нормали воспользуемся тем, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. В качестве таких векторов возьмем .

Мы вычислили определитель путем разложения по элементам третьей строки – это наиболее удобно, поскольку она содержит два нуля. Далее, мы учли что j – k = 0i + 1j – 1k; отсюда и получился приведенный выше вектор столбец. Теперь, располагая координатами точки и нормали, напишем уравнение искомой плоскости

0(x-2) + 1(y-1) – (z-0) =0  (y-1) – z = y – z – 1 = 0.

6. Определить угол между двумя плоскостями

▄

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями, который вычисляется через скалярное произведение аналогично тому, как это было сделано в примере 2 настоящего раздела. Отметим, что отсутствие переменной z во втором уравнении означает, что третья координата вектора-нормали равна нулю.

7. Определить угол между двумя прямыми:

▄

Легко заметить (см. предыдущую задачу), что по форме эти уравнения похожи на уравнение плоскости в пространстве. Следовательно, речь идет об уравнениях прямых на плоскости, которые заданы с помощью вектора-нормали; нормаль к первой прямой – вектор , а ко второй – вектор . Аналогично предыдущему угол между двумя прямыми равен углу между нормалями к ним, который в свою очередь вычисляется через скалярное произведение

Задача определения угла между прямой и плоскостью также решается подобным образом – она сводится к нахождению угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой . Отметим важное отличие – угол между прямой и плоскостью не равен углу между и , а дополняет его до .