2.2 Размерность, базис, координаты

2.2.1 Линейная комбинация и разложение по набору

Линейной комбинацией векторов {e₁, e₂, …e_n} Û называется вы­ражение  ₁e₁ +  ₂e₂ + … _ne_n = Таким образом, линейная комбинация – это просто сумма векторов с числовыми коэффициентами.⁵ Если все коэффициенты _i равны 0, линейная комбинация называется тривиальной.

Если вектор a может быть представлен в виде линейной комбинации векторов {e_i}, то мы говорим, что a раскладывается по набору {e_i}, а соответствующая линейная комбинация называется разложением вектора a. Другими словами, разложить вектор a по векторам {e_i} означает найти такие числа _i , чтобы

a = ₁e₁ +  ₂e₂ + … _ke_k ;

с ами числа _i называются коэффициентами разложения a по системе {e_i}. Например, пусть , тогда легко заметить, что a = e₁  2e₂ , т.е. в этом случае ₁ =1, а ₂ = – 2. Вектор a, изображенный на рисунке слева, раскладывается по векторам e и d, причем a = 2 e + ½d, т.е. в этом случае ₁=2, а ₂=½. Стандартные методы нахождения разложения данного вектора по заданному набору векторов сводятся к решению систем линейных уравнений, которые будут рассмотрены далее.

П

Рис. 1

режде, чем перейти к дальнейшему изложению, следует сделать замечание, связанное с употреблением символа . Этот символ используется для сокращенной записи сложения величин, снабженных индексами (т.е. в типичном случае – зависящих от некоторого номера) и означает, что следует просуммировать выражение, которое стоит за ним, последовательно придавая индексу суммирования i все значения от начального до конечного. При этом начальное значение индекса суммирования указывается под символом суммирования, а конечное – над ним. Например, выражение означает такую сумму: а₃ + а₄ + а₅ + а₆ . Под знаком суммы указывается также символ индекса суммирования (в приведенном примере – i), это важно в тех случаях, когда суммируемые величины снабжены не одним, а нескольким индексами. С подобной ситуацией мы столкнемся при рассмотрении чисел, взятых из таблиц (матриц), в этом случае один индекс означает номер строки, а второй – номер столбца. Тогда сумма равна b_i1+b_i2+b_i3+b_i4, т.е. суммирование ведется по второму индексу. Наконец, рассмотрим ситуацию двойной суммы, она возникает, когда мы величины, снабженные двумя индексами, суммируем по обоим индексам. Выражение следует интерпретировать так : b₁₁ + b₁₂ + b₁₃ + b₂₁ + b₂₂ + b₂₃. Мы присваиваем обоим индексам начальные значения (1,1), после чего второй индекс возрастает на каждом шаге на единицу, пока не достигнет своего предельного значения (3). После этого первый индекс увеличивается на единицу (2), второй восстанавливает стартовое значение (1), и процедура повторяется. Суммирование заканчивается, когда оба индекса достигнут предельных значений.

2.2.2 Линейная зависимость

Система⁶ векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть разложен по остальным векторам. Другими словами, если существует линейная комбинация всех векторов системы, кроме e_k, равная e_k:

{k: 1kn, , ik}:

По определению система, содержащая один вектор, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда это нуль-вектор.

Наиболее распространенным является следующее определение линейной зависимости: система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0. Другими словами, если существуют такие n чисел Î R, что не все они равны нулю, и линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нуль-вектору:

В противном случае набор векторов называется линейно независимым. Другими словами – векторы называются линейно независимыми, если из ₁e₁ + ₂e₂ + …+_ne_n = 0 следует ₁ = ₂ = …= _n = 0 , т.е. если любая линейная комбинация этих векторов, равная нуль-вектору, является тривиальной.