6.4.2. Прямая, проходящая через две заданные точки

Рассмотрим одну из наиболее распространенных и важных задач, связанных с прямой. Пусть нужно найти уравнение прямой, которая проходит через точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂). Для того, чтобы получить каноническое уравнение прямой, нам нужны базовая точка и вектор, параллельный прямой. В качестве базовой мы можем выбрать любую, из заданных нам точек, например А. Далее, пара точек А и В в евклидовом пространстве всегда позволяет образовать вектор , их соединяющий. Этот вектор лежит на искомой прямой, и именно этот вектор разумно принять в качестве направляющего вектора прямой. Так как , то уравнение прямой, проходящей через точки (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) в соответствии с (44) примет вид:

. (45)

6.4.3. Сводка формул: прямая в пространстве

В завершение пункта приведем ряд формулировок относительно взаиморасположения двух прямых или прямой и плоскости.

1. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами:

. (46)

2. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы параллельны

. (47)

1. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (скалярное произведение равно 0)

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0. (48)

1. Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор параллелен нормали к плоскости

t||n  . (49)

2. Угол между прямой и плоскостью есть дополнительный до пря-мого угла к углу между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

. (50)

6.5. Прямые на плоскости

П рямую на плоскости можно рассмотреть с двух точек зрения. С одной стороны, ее можно рассмотреть как прямую в двумерном пространстве. Тогда, как всякая прямая в пространстве любой размерности, это будет множество точек, пары которых образуют векторы, параллельные данному вектору t, и особенность двумерного случая лишь в том, что t  двумерный вектор, . Уравнение прямой в этом случае примет вид:

. (51)

Э то уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Формулы (45)  (48), которые определяют уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, и взаимное расположение прямых в пространстве, справедливы и для прямых на плоскости, записанных в канонической форме. Разумеется, применяя указанные формулы для прямых на плоскости, следует исключить из них параметр р и переменную z.

С другой стороны, прямую на плоскости можно рассматривать как гиперплоскость⁷⁹, т. е. сдвинутое на некоторый постоянный вектор подпространство размерности n1, ведь в случае плоскости n1=1, и, значит, гиперплоскость одномерна, т. е. это прямая. Соответственно, уравнение прямой на плоскости можно записать в форме уравнения плоскости, но для двух переменных:

A (x  x₀) + B(y  y₀) = 0. (52)

Естественно, когда уравнение прямой записывается в виде (52) («прямая как плоскость»), вектор – вектор, перпендикулярный к прямой (нормаль). Если в качестве координат вектора нормали к прямой использовать координаты направляющего вектора другой прямой, получим пару взаимно перпендикулярных прямых:

, m(x  x₁) + n(y  y₁) = 0. (53)

Действительно, нормаль ко второй из указанных прямых l₂ параллельна первой из этих прямых l₁, а это и значит, что прямые перпендикулярны. Для прямых на плоскости, записанных в форме (52), сохраняют справедливость формулы (41)  (43), если исключить из них параметр С и переменную z.

Взаимное расположение прямых, уравнения которых записаны в альтернативной форме, характеризуется такими формулами:

1. Угол между прямыми есть угол, дополняющий до прямого угол между направляющим вектором t₁ одной и нормалью n₂ к другой прямой:

. (54)

2. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор одной прямой перпендикулярен нормали к другой прямой:

m₁А₂ + n₁В₂ = 0. (55)

3. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор t₁ одной прямой параллелен нормали n₂ к другой прямой:

. (56)