6.3.4. Сводка формул: плоскость

В завершение параграфа напомним полученные результаты:

1. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями

. (41)

2. Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормали параллельны⁷⁷

. (42)

1. Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормали перпендикулярны А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0 (43).

6.4. Прямые в пространстве

К ак и плоскость, прямая l в пространстве является подпространством лишь в том случае, когда она проходит через начало координат. Как и в случае плоскости, векторы, которые на прямой l заканчиваются, этой прямой не принадлежат (т. е. они прямой не параллельны), но прямой l принадлежат разности таких векторов. Выберем на прямой некоторую точку и обозначим r₀ вектор, который заканчивается в этой точке. Тогда разность между любым вектором r, который заканчивается на прямой, и вектором r₀ будет принадлежать прямой l (строго говоря, прямой, которая параллельна l и проходит через начало координат). Это условие критериальное, то есть оно выполнено для всех векторов, заканчивающихся на прямой l, и не выполнено для всех остальных векторов. Обозначим t некоторый вектор, параллельный l; в дальнейшем мы будем называть его направляющим вектором прямой. Координаты направляющего вектора t по традиции обозначаются m, n, p: t = Условие принадлежности вектора rr₀ прямой l эквивалентно условию параллельности вектора rr₀ вектору t, поскольку все векторы, лежащие на одной прямой, параллельны друг другу. Условие параллельности векторов есть условие пропорциональности их координат, таким образом, из условия rr₀ || t, учитывая, что , получим:

. (44)

Уравнение (44) называется каноническим уравнением прямой.

6.4.1. Геометрический смысл параметров уравнения прямой

Во-первых, отметим такой факт: уравнение прямой это, вообще говоря, не уравнение, а система двух уравнений с тремя переменными. Это видно из того, что каноническое уравнение прямой содержит два знака равенства, что соответствует нашим рассуждениям о размерности в п. 6.2.2: ведь прямая  одномерный объект, и должна в трехмерном пространстве описываться системой из двух уравнений (в n-мерном пространстве  системой из n-1 уравнения).

Координаты «текущей» точки в пространстве (x, y, z) следует рассматривать как переменные, а координаты фиксированной «базисной» точки на прямой (x₀, y₀, z₀) как параметры. Координаты такой точки являются параметрами положения прямой  при их изменении прямая перемещается параллельно самой себе. Величины (m, n, p) играют роль параметров направления  при их изменении прямая поворачивается в пространстве.

Далее, как и в уравнении плоскости, параметры направления определены «с точностью до множителя», то есть, если величины (m, n, p) умножить на одно и тоже число, получим эквивалентную систему уравнений, которая описывает ту же прямую⁷⁸.

Отметим еще одну важную особенность параметров направления  один или даже два из них могут равняться нулю (в уравнении прямой можно «делить на 0»!). Разумеется, никакого деления на 0 реально не происходит. Уравнение описывает прямую, проходящую через точку (3, 2, 5) и параллельную вектору с координатами (1, 3, 0). Такой вектор перпендикулярен оси z (имеет на эту ось нулевую проекцию) и параллелен плоскости хОу; соответственно, так же расположена и прямая. Значит, третья дробь в уравнении прямой с нулевым знаменателем означает, что z-коор-дината фиксирована и для всех точек прямой равна 5. Следовательно, равенство нулю какого-либо из знаменателей означает перпендикулярность прямой соответствующей оси и постоянство соответствующей координаты для всех точек прямой. Разумеется, все приведенные соображения справедливы лишь для канонического уравнения прямой. Если прямая записана не в каноническом виде, то чтобы воспользоваться всеми приведенными результатами необходимо сначала привести уравнение прямой к каноническому виду.