6.3.2. Геометрический смысл параметров уравнения плоскости

Выясним геометрический смысл параметров уравнения (38). Три из них А, В, С являются координатами вектора-нормали и определяют направление плоскости. Это значит, что у любой плоскости, параллельной данной, параметры А, В, С такие же или пропорциональные А : А₁ = В : В₁ = С : С₁, поскольку, как уже было отмечено, вектор нормали определен «с точностью до множителя». Семейство параллельных плоскостей это множество плоскостей с общей нормалью, и их можно представлять себе нанизанными на общую нормаль, как плоские кусочки мяса на шашлычный шампур. Углы между плоскостями равны углам между их нормалями.

П араметры х₀, у₀, z₀ являются координатами некоторой «базисной» точки на плоскости, это параметры положения, поскольку зафиксировав точку мы выбираем одну плоскость из семейства параллельных плоскостей. Так, плоскость, параллельная данной плоскости 4(х + 3) + 3(у + 6) – 3(z  1) = 0 и проходящая через начало координат, имеет уравнение: 4х + 3у – 3z = 0 (в уравнение плоскости, проходящей через начало координат, «исчезают» параметры х₀, у₀, z₀ и, соответственно, круглые скобки).

Пусть в уравнении плоскости отсутствует одна из переменных (например, z): 2(х  6) + у = 0, что, естественно, означает, что коэффициент, стоящий перед z, равен 0 (рисунок 7).

Это уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (6, 0, z)⁷⁴. Так как z-координата нормали равна 0, то нормаль перпендикулярна оси z, а значит, сама плоскость оси z параллельна. Такая плоскость вместе с любой точкой содержит и вертикальную прямую, проходящую через эту точку. Именно с этим и связана неопределенность третьей координаты базовой точки в уравнении такой плоскости. Итак, установлено, что если в уравнении плоскости отсутствует одна из переменных, это означает, что плоскость параллельна соответствующей оси.

Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменных (например, уравнение имеет вид: 3у = 9), это означает, что описываемая уравнением плоскость параллельна координатной плоскости (xOz) и перпендикулярна координатной оси (у) в нашем случае.

6.3.3. Плоскости и линейные функционалы75

Напомним (см. разд. 4), что линейная числовая функция (оператор) f(r), определенная в линейном пространстве, называется линейным функционалом. Рассмотрим такие функционалы, определенные в трехмерном евклидовом пространстве Е₃. Так как множеством значений такой функции является вещественная прямая R, то есть, одномерное пространство, то, согласно теореме 6, ядро f(r) (множество решений уравнения f(r) = 0) это двумерное линейное подпространство, то есть плоскость, проходящая через начало координат. Обозначим значения, которые принимает функционал на базисных векторах Е₃ следующим образом: f(i) = А, f(j) = В, f(k) = С. Поскольку любой вектор r в Е₃ представляется в виде r = xi + yj + zk, то пользуясь тем, что f(r)  линейный функционал, получим:

f(r) = f( xi + yj + zk ) = x f(i) + y f(j) + z f(k) = Ax + By + Cz. (40)

Соответственно, уравнение ядра f(r) примет вид

Ax + By + Cz = 0,

то есть хорошо нам знакомый стандартный вид уравнения плоскости, проходящей через начало координат. Множество точек в Е₃, на котором числовая функция (не обязательно линейная) принимает некоторое постоянное значение, называется поверхностью уровня этой функции. Уравнение поверхности уровня линейного функционала в Е₃, отвечающей значению D, в соответствии с (40), примет вид:

Ax + By + Cz = D  Ax + By + Cz + D = 0,

а это хорошо знакомое нам каноническое уравнение плоскости (39). Таким образом, любая плоскость в Е₃ есть поверхность уровня некоторого линейного функционала. С этой точки зрения параметр уравнения плоскости приобретает естественный смысл: он равен значению функционала на данной плоскости с противоположным знаком⁷⁶.

Сделаем еще одно важное замечание. Если рассматривать числа А, В, С как координаты некоторого вектора m, то, как видно из (40), значение функционала на произвольном векторе r может быть вычислено как скалярное произведение r на m

f(r) = Ax + By + Cz = (m r).

Таким образом, любой линейный функционал в Е₃ может быть представлен в виде скалярного произведения на некоторый, фиксированный для данного функционала, вектор.