6.3. Плоскости в пространстве

В геометрии плоскость определялась как некоторое множество точек. С каждой точкой на плоскости можно связать вектор, заканчивающийся в этой точке. Однако, если плоскость не проходит через начало координат, как плоскость P на рисунке 6, то соответствующие векторы (r и r₀ на рисунке 6) заканчиваются на плоскости, но плоскости не принадлежат. Однако разности таких векторов, например r – r₀, уже принадлежат плоскости⁷¹ P. Из геометрии известно, что прямая l, перпендикулярная к данной плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, а значит и к любому вектору, принадлежащему данной плоскости. Таким свойством будет обладать и любой вектор, перпендикулярный к P. Такие векторы называются н ормалями к плоскости и, обычно, обозначаются n⁷². Координаты нормали к плоскости по традиции обозначают буквами А, В и С. Таким образом пусть , , , где r  радиус-вектор текущей точки с координатами (x, y, z), r₀  радиус-вектор фиксированной «базисной» точки с координатами (x₀, y₀, z₀), а n  вектор нормали. Так как вектор r – r₀ принадлежит плоскости Р, то он перпендикулярен нормали n. С другой стороны, если r заканчивается в точке, не находящейся на плоскости Р, то r – r₀ не будет перпендикулярен n. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Значит, условие

((r – r₀) n) = 0 (37)

выделяет из всех векторов r те и только те векторы, которые заканчиваются на плоскости Р. Это и есть искомое «правило отбора», то есть уравнение плоскости. Записав (37) в координатном виде, получим:

A(x  x₀) + B(y  y₀) + C(z  z₀) = 0. (38)

Отметим, что поскольку координаты вектора и точки, в которой он заканчивается, совпадают, мы можем рассматривать (x, y, z) как координаты точек пространства, а уравнение (38) как соотношение, позволяющее определить, принадлежит ли данная точка плоскости, или нет. Мы получили основное уравнение плоскости⁷³.

6.3.1. Неединственность выбора параметров. Каноническая форма уравнения плоскости

Уравнение (38) содержит три переменных х, у, z и шесть параметров. В приведенной записи уравнения параметры и переменные мало отличаются  и те, и другие обозначаются буквами латинского алфавита. Однако это справедливо только при записи общего уравнения; если записать уравнение некоторой конкретной плоскости, то параметры примут конкретные числовые значения. Так, например, уравнение 2(х – 3) + 3у – 5(z + 7) = 0 описывает плоскость, проходящую через точку с координатами (3, 0, –7) и перпендикулярную вектору .

Отметим важную особенность уравнения плоскости: изменение параметров уравнения не обязательно приводит к изменению самого объекта,  одной плоскости отвечает много уравнений. Во-первых, вектор нормали n определен «с точностью до множителя», т. е. если n  нормаль к плоскости, то и n тоже нормаль при любом вещественном  ≠ 0. Это значит, что если параметры А, В, С одновременно умножить на одно и тоже число, то хотя запись уравнения изменится, но оно будет описывать ту же самую плоскость. Действительно, умножение на число не меняет направления вектора, значит, новая нормаль перпендикулярна к той же плоскости.

В выборе базисной точки мы тоже располагаем определенной свободой: в качестве таковой можно выбрать любую точку на плоскости. То есть уравнения, с разными наборами параметров х₀, у₀, z₀, причем даже не обязательно, чтобы это были пропорциональные величины, описывают один и тот же объект. Уравнению плоскости можно придать несколько иную форму, где указанная неоднозначность будет уменьшена. Для этого в уравнении (38) раскроем все скобки и выпишем рядом все величины, не содержащие переменных

Ax + By + Cz  (Ax₀ + By₀ + Cz₀) = 0.

Выражение в скобках при заданных значениях всех параметров представляет собой просто число, поэтому можем ввести обозначение

D =  (Ax₀ + By₀ + Cz₀).

С учетом введенного обозначения, уравнение плоскости примет вид:

Ax + By + Cz + D = 0. (39)

Уравнение (39) называется каноническим уравнением плоскости. Удобство этой формы уравнения в том, что здесь все четыре параметра определены с точностью до множителя. Однако непосредственно наглядного геометрического смысла параметр D не имеет, и при решении задач во многих случаях удобнее работать с уравнением плоскости, записанным в форме (38). Уравнение (39) представляет собой общий вид линейного уравнения с тремя переменными. Как мы показали, к этому виду может быть приведено уравнение любой плоскости. Справедливо и обратное утверждение: всякое линейное уравнение с тремя переменными есть уравнение некоторой плоскости. Разумеется, соответствие между заданным уравнением и конкретной плоскостью может быть установлено только после выбора базиса  в разных базисах одна и та же плоскость будет иметь разные уравнения.