6.2.2. Замечание о размерностях

Ранее мы ввели понятие о размерности линейного пространства. Однако большинство геометрических объектов линейными пространствами не являются (даже прямые и плоскости не являются линейными пространствами, если они не проходят через начало координат). Строгое определение размерности геометрических объектов выходит за рамки настоящего пособия, но можно высказать некоторые соображения, которые помогут составить интуитивное представление о размерности. Более-менее очевидно, что прямые и плоскости, не являющиеся линейными пространствами, имеют ту же размерность, что и те прямые и плоскости, которые пространствами являются, т. е. прямые одномерны, а плоскости двумерны. Интуитивно представляется ясным, что плоским фигурам также следует приписать размерность два, а отрезкам прямых размерность один. Кривые лини и поверхности можно рассматривать как отрезки и плоские фигуры, которые были подвергнуты непрерывной деформации. Разумно полагать, что непрерывная деформация объекта не может изменить такой фундаментальной характеристики, как размерность. Поэтому криволинейной поверхности как деформированной плоскости приписывается размерность два, а кривой на плоскости или в пространстве приписывается размерность один. Но можно взглянуть на проблему размерности и с точки зрения аналитического описания объекта. Здесь можно руководствоваться следующим правилом: каждое уравнение, входящие в описание объекта, снижает его размерность на единицу. Таким образом, одно линейное уравнение в трехмерном пространстве описывает двумерный линейный объект, т. е. плоскость, а одно линейное уравнение на плоскости описывает одномерный линейный объект, т. е. прямую. Соответственно, система двух линейных уравнений в пространстве описывают одномерный линейный объект, т. е. прямую. Если к уравнениям добавить неравенства, то получим части соответствующих объектов – фигуры на плоскости или отрезки на прямой (может быть полуплоскости, лучи или другие неограниченные объекты). Если уравнения, которые описывают объекты, нелинейные, то будут получаться «кривые» объекты, но, за исключением некоторых особых случаев, той же размерности, как если бы они описывались линейными уравнениями. Так, одно квадратное уравнение (34) описывает двумерную поверхность в трехмерном пространстве, а именно сферу, а аналогичное уравнение с двумя переменными

(36)

описывает окружность на плоскости, т. е. одномерный объект. Как видим и для нелинейных уравнений действует правило, что одно уравнение отнимает одну «степень свободы», то есть, снижает размерность на единицу. Можно показать, что размерность объекта есть число независимых переменных, необходимое чтобы ввести на объекте внутренние (возможно, криволинейные) координаты.

Приведенные соображения нуждаются в двух уточнениях. Во-первых, размерность объекта равна размерности пространства минус число уравнений описания при одном важном условии: эти уравнения должны быть независимы. Для линейных уравнений вопрос о числе независимых уравнений это вопрос о ранге системы, т. е. максимальном порядке ненулевого определителя, составленного из коэффициентов уравнений. Для нелинейных уравнений можно построить аналогичный критерий, но он будет иметь локальный характер, поскольку элементы определителя будут функциями точки, а значит, ранг может изменяться от точки к точке.

Во-вторых, в некоторых, впрочем, довольно редких случаях, одно нелинейное уравнение снижает размерность больше, чем на единицу. Например, уравнение x² + y² + z² = 0 имеет единственное решение – точку с координатами (0, 0, 0), то есть объект размерности нуль; тем самым одно уравнение понизило размерность сразу на три единицы. Однако, как уже было сказано, такие случаи можно рассматривать как исключения.