6.1. Базисы в евклидовом пространстве

Ясно, что скалярное произведение, которое мы ввели как сумму попарных произведений координат в некотором исходном базисе, зависит от выбора этого базиса. В частности, от этого зависит, будет данная система векторов ортонормированной или нет. Вообще говоря, всякая числовая функция, удовлетворяющая условиям 1) – 3), может быть выбрана в качестве скалярного произведения, т. е. данное линейное пространство может быть превращено в евклидово многими разными способами. Однако можно доказать, что все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу. Поэтому все утверждения, доказанные в некотором евклидовом пространстве размерности n, остаются справедливыми в любом евклидовом пространстве той же размерности.

В произвольном базисе выражение скалярного произведения через координаты, вообще говоря, теряет свою удобную запись в виде (25). Только в ортонормированном базисе, в котором все базисные векторы взаимно перпендикулярны и длина любого базисного вектора равна единице ( ), скалярное произведение сохраняет ту же форму записи, что и в исходном базисе, в котором скалярное произведение было введено:

(ab)= a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n = .

Таким образом, в евклидовом пространстве возникают «привилегированные» ортонормированные базисы, в то время как в линейном пространстве все базисы были равноправны. Соответственно, возникает проблема, каким условиям должна удовлетворять матрица перехода к новому базису, чтобы он также был ортонормированным.

Пусть матрица C есть матрица перехода от исходного базиса к новому ортонормированному базису. По столбцам c_i матрицы C (см. п. 4.6) стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе . Образуем произведение C на транспонированную матрицу C (строки C равны столбцам C): D = CC. При перемножении матриц строки левой матрицы скалярно умножаются на столбцы правой, поэтому элементы d_ik матрицы D образуются как скалярные произведения столбцов матрицы C:

.

Если C описывает переход между ортонормированными базисами, то векторы взаимно ортогональны, значит и столбцы c_i ортогональны, значит d_ik = = . Следовательно, CC = E, то есть C есть матрица, обратная к матрице C. Такие матрицы, обратные к которым совпадают с транспонированными, называются ортогональными матрицами. Только такие матрицы обеспечивают переход от ортонормированного базиса к новому также ортонормированному базису. Поскольку при переходах от одного базиса к другому используются как матрицы перехода, так и обратные к ним матрицы (см. (10) – (11)), то ортонормированные базисы обеспечивают большие вычислительные преимущества, поскольку нахождение обратных к соответствующим матрицам перехода чрезвычайно упрощается – нужно просто транспонировать основную матрицу.

В дальнейшем все рассмотрения проводятся для трехмерных евклидовых пространств, если прямо не оговорено противное, причем используются только ортонормированные базисы. Отметим, что почти все результаты (кроме тех, которые связаны с понятием векторного произведения) легко переносятся на случай любого числа измерений.