1.2. Отображения
Пусть
есть множество X
состоящее из элементов x
(X
x)
и множество Y
состоящее из элементов y
(Y
y).
Если любым способом каждому x
X
поставлен в соответствие единственный
y
Y,
то мы говорим, что на X
определена функция
со значениями в Y;
этот факт обозначается y
= f(x),
или
x
y.
Термины «отображение»
и «оператор»
имеют тот же смысл. Множество X
называется множеством аргументов
(прообразов), а множество Y
– множеством значений (образов). Вообще
говоря, не предполагается, что каждый
y
Y
имеет прообраз
– такой x
X,
что
f
(x)
= y.
Также не требуется, чтобы разным x
X
соответствовали различные y
Y.
Если оба эти требования выполнены, т.
е. если всякий y
Y
имеет прообраз, и различным x
соответствуют разные y,
то мы говорим, что между множествами X
и Y
установлено взаимно
однозначное соответствие3.
В этом случае на Y можно определить функцию со значениями в X, которая каждому y Y ставит в соответствие его (единственный!) прообраз в X, такая функция называется обратной функцией (обратным оператором, обратным отображением) и обозначается f -1(y)
2. Линейные пространства
Линейным пространством называется множество L, в котором определены операции сложения и умножения на число, т. е. для каждой пары элементов a,bL существует некоторый cL, который называется их суммой, и для любого элемента aL и любого числа R существует bL называемый произведением на a. Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам.
Аксиомы сложения:
a, b, c L
a + b = b + a – коммутативность
(a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативность.
В пространстве существует такой элемент, который называется нуль-вектор и обозначается 0, который в сумме с любым a из L дает этот же элемент a, т. е. 0 L: 0 + a = a a L.
Для всякого a из L существует противоположный элемент, обозначаемый – a, такой что (– a) + a = 0 ( a L (– a) L: (– a) + a = 0).
Следствия из аксиом сложения:
1. Нуль-вектор единственен, т. е. если хотя бы для одного aL справед-ливо, что b + a = a, то b = 0.
2. Для любого вектора aL противоположный элемент единственен, т. е. b + a = 0 b = (– a).
Аксиомы умножения: , R a, b L
(a) = () a
(a + b) = a + b – дистрибутивность (по векторам)
( + )a = a + a – дистрибутивность (по числам)
1a = a.
Следствия из аксиом умножения: a L R
0 = 0
0 a = 0
(– a) = (– 1) a.
2.1. Примеры линейных пространств
1. Пространство Kn столбцов высоты n. Элементами этого пространства являются столбцы, содержащие n вещественных чисел, с операциями покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на число. Нуль-вектором в таком пространстве является столбец, состоящий из n нулей.
.
2. Обычные векторы в трехмерном пространстве R3 с операциями сложения «по правилу параллелограмма» и умноження – растяжения-сжатия. Предполагается, что начала всех векторов находятся в начале координат, а нуль-вектор это вектор, который и заканчивается в начале координат.
3. “Экзотическим” примером линейных пространств является пространство, состоящее из одного элемента – нуль-вектора.
4. Многочленом степени n от одной переменной4 называется функция
Pn(x) = nxn + n-1xn-1 + … + 1x + 0 , причем n 0.
Множество многочленов, степени не выше n, с обычными операциями сложения и умножения на число, образуют линейное пространство. Отметим, что множество многочленов, степени n, линейного пространства не образуют. Дело в том, что сумма двух многочленов степени, допустим, 3 может оказаться многочленом степени 2 (например, (x3 + 3) + (– x3 – 2x2 + 7) = – 2x2 + 10 – многочлен степени 2). Однако, операция сложения многочленов может понизить степень, но не может повысить ее, поэтому множество многочленов, степени не выше n, замкнуто относительно сложения (т. е. сумма двух многочленов, степени не выше n, – всегда многочлен, степени не выше n) и образует линейное пространство. Отметим, что множество всех функций, определенных на отрезке [0,1], также образует линейное пространство. Нуль-вектором этого пространства является функция, равная нулю в каждой точке отрезка (тождественный ноль).