6. Евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии

Пусть в линейном пространстве L_n задан некоторый базис , тогда каждому вектору a этого пространства сопоставлен набор координат относительного этого базиса.

Скалярным произведением называется числовая (скалярная) функция двух векторов, определенная равенством:

(ab)= a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n = (25)

скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответственных координат.

Свойства скалярного произведения:

1. (ab) = (ba) – коммутативность.

2. ((a + b) c) = (ac) + (bc) – линейность.

3. (aa) > 0  a, если (aa) = 0 то a = 0 – «скалярный квадрат» (aa) любого вектора в соответствии с (25) есть сумма квадратов координат: а₁² + а₂² + … + а_n² и, значит, всегда неотрицателен и равен нулю только для нуль-вектора.

Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством. Евклидовы пространства размерности n будем в дальнейшем обозначать Е_n

Так как каждому базисному вектору e_i соответствует столбец коорди- нат , в котором все координаты равны 0, кроме i-ой, которая равна 1, то из (25) следует (проверьте!)

(26)⁶²

Т. е. скалярное произведение двух различных базисных векторов равно нулю, а скалярное произведение любого базисного вектора на себя равно единице. Всякая система векторов , обладающая тем свойством, что называется ортонормированной. По определению векторы ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Всякая взаимно ортогональная система векторов, не содержащая нуль-вектора (в частности, всякая ортонормированная система), является независимой системой⁶³. Обратное, разумеется, неверно, т. е. не всякая независимая система векторов взаимно ортогональна – достаточно, например, в исходном базисе заменить вектор e₁ на вектор e₁ + e₂, и новая система останется независимой (докажите!), но перестанет быть взаимно ортогональной.

Скалярное произведение позволяет ввести метрические элементы геометрии: длины, углы и объемы.

Длиной вектора называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(27)

Так определенная длина вектора обладает следующими свойствами:

1. |a| = || |a|.

2. |a| ≥ 0, причем если|a| = 0, то a = 0.

3. |(ab)|  |a| |b|, причем равенство возможно только в случае параллельности a и b – неравенство Коши-Буняковского⁶⁴.

4. ||a|-|b||  |a+b|  |a| + |b| – неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон, но больше их разности.

Угол между двумя векторами определяется следующим образом:

. (28)

Такое определение угла корректно: в силу неравенства Коши-Буняковского числитель дроби по модулю всегда не больше знаменателя, а сама дробь по модулю не превосходит единицу. Значит угол, косинус которого равен данному выражению, существует⁶⁵.

Отметим, что введенные определения длин и углов позволяют дать «геометрическое», определение скалярного произведения: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними

(ab) = |a| |b| cos  (29)

Направлением вектора b называется множество всех векторов, параллельных данному⁶⁶. Вектор единичной длины называется нормированным вектором или ортом данного направления. Любой вектор можно нормировать, разделив на его длину: , где b – орт направления b.

Проекцией вектора a на вектор b (или, что то же самое, на направление вектора b), как и в «обычной» геометрии, называется произведение длины вектора a на косинус угла между a и b

Пр_b a = , (30)

т. е. скалярное произведение векторов a и b, деленное на модуль b, или, что то же самое, скалярное произведение a на орт направления b.