5.5. Определение ранга матрицы

Ранг матрицы может быть определен с помощью описанной выше процедуры Гаусса. Действительно, в итоге выполнения этой процедуры мы получаем сформированный базисный минор, ранг которого и есть ранг матрицы. Единственное отличие состоит в том, что процедура выполняется для основной, а не для расширенной матрицы, поэтому она не может прерваться из-за несовместности системы и всегда доходит до конца.

Рассмотрим задачу определения ранга матрицы

.

По общей схеме процедуры Гаусса, прежде всего, добьемся, чтобы в первом столбце матрицы стояли нули во всех строках, кроме первой. Для этого последовательно умножаем первую строку на 1, – 2 и 3 и складываем результат умножения со второй, третьей и четвертой строкой матрицы соответственно. Получим:

.

Теперь наша задача, используя элементарные преобразования, добиться, чтобы во втором столбце все элементы, стоящие ниже второй строки были нулями. Для этого умножим вторую строку на – 3 и прибавим к третьей. В результате третья строка станет строкой из одних нулей, и мы ее исключаем из матрицы

.

Умножая вторую строку на – 2 и складывая с третьей, приведем матрицу к верхнему треугольному виду⁶¹

.

Теперь очевидно, что матрица имеет ранг 3. В самом деле, определитель, построенный на первом втором и четвертом столбцах матрицы треугольный и равен произведению своих диагональных элементов

.

Так как существует отличный от нуля минор третьего порядка и не существует таких миноров четвертого порядка (элементарные преобразования привели к строке из одних нулей), то матрица имеет ранг три, а ее базисными столбцами являются первый, второй и четвертый (или первый второй и пятый). Обратите внимание, что не обязательно, чтобы в результате процедуры базисные столбцы и строки заняли левый верхний угол, хотя этого, конечно, можно добиться, переставляя строки и столбцы.

5.6. Нахождение собственных векторов

В п.4.7 мы определили собственные числа как корни характеристического уравнения det (A – E) = 0. Процедура нахождения собственных чисел требует умения вычислять определитель и решать получающееся уравнение (в двумерном случае  квадратное), и особых технических трудностей не представляет. Однако задача определения собственных векторов приводит к необходимости решения вырожденной системы (A – E) х = 0, так что дать соответствующий пример решения задачи нахождения собственных чисел и векторов мы можем только сейчас.

Пусть требуется найти собственные векторы матрицы . Найдем сначала собственные числа этой матрицы

Т. к. у матрицы два разных собственных числа, то нам предстоит найти два различных собственных вектора, отвечающих этим числам.

1. ₁ = 13; A – ₁E = Вполне очевидно, что вторая строка матрицы A – ₁E равна первой строке, умноженной на 2, и, значит, в системе уравнений (A – ₁E)х = 0 независимым является только одно уравнение. Выберем первое уравнение, получим –2х₁ + 4х₂ = 0  –1х₁ + + 2х₂ = 0. Теперь, аналогично тому, как мы это делали в п. 5.4, положим х₂ = 1, тогда получим х₁ = 2. Таким образом, собственный вектор, отвечающий собственному значению ₁ = 13 равен . Аналогично, для ₂ = 3 получим A – ₂E = . Поскольку вторая строка матрицы A–₁E равна первой строке умноженной на ½, то независимым является только одно уравнение системы. Оставляя только второе уравнение и полагая х₂ = 1, получим:

4х₁ + 2х₂ = 0  4х₁ = 2х₂  х₁ = –1/2  .

Задача определения собственных чисел и отвечающих им собственных векторов решена. Остается заметить, что собственные векторы всегда определяются «с точностью до множителя», то есть, если b₁  собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному числу 13, то b₁ тоже собственный вектор при всяком вещественном 0, и он отвечает тому же собственному числу.