5.2. Метод гаусса. Случай невырожденной квадратной матрицы

Методом Гаусса сегодня называют не один, а целую группу методов, применяемых для решения различных задач линейной алгебры и объединенных общей идеей. Этой центральной идеей является приведение основной матрицы системы к верхнему треугольному виду, путем выполнения элементарных преобразований. В случае поиска решения системы уравнений эти преобразования выполняются над расширенной матрицей системы, причем вся процедура делится на две части – прямой ход, когда осуществляется приведение матрицы к желаемому виду, и обратный ход, при котором собственно и вычисляются значения неизвестных.

5.2.1. Прямой ход метода гаусса

Целью процедуры является обращение в нуль всех элементов матрицы, которые расположены ниже главной диагонали (у которых j > i ) с помощью элементарных преобразований 1 – 3. Для этого на каждом шаге процедуры выбирается ведущий элемент; на первом шаге ведущим элементом является элемент, расположенный в верхнем левом углу матрицы. Формально от ведущего элемента требуется только одно – он не должен равняться нулю. В действительности при решении больших систем существуют специальные алгоритмы выбора ведущего элемента. Для наших целей – решения относительно простых систем «ручным» способом, – от ведущего элемента требуется, чтобы на него было удобно делить, лучше всего, если он равен 1, и, разумеется, недопустимо, чтобы он равнялся нулю. Если a₁₁ не удовлетворяет этим требованиям, переставляя строки и/или столбцы можно добиться подходящего значения в верхнем левом углу. Конечно, перестановка строк и столбцов приведет к тому, что на прежних местах появятся новые значения, но, излагая алгоритм, мы в матрице общего вида будем отмечать только появление нулей, а то, что элемент с теми же индексами получил новое значение, отмечать не будем. Пусть расширенная матрица системы имеет вид⁵⁶

. (18)

Умножим первую строку на (₁₂ = – 3) и прибавим ко второй строке. Тогда на месте элемента a₂₁ получится 0. Все остальные элементы второй строки, включая b₂, вообще говоря, тоже изменятся, но мы будем отмечать их теми же символами, что и раньше. В итоге получим матрицу:

.

Теперь умножим первую строку на (₁₃ = – 2) и прибавим к третьей строке, в результате все элементы третьей строки изменятся, причем a₃₁ станет равным 0. Проделав аналогичную процедуру над всеми строками, включая последнюю, получим матрицу, в которой все элементы первого столбца, кроме a₁₁, равны 0.

(19)

Продолжая аналогичным образом для всех строк от 2-й до n-й, мы получим систему уравнений, в которой все уравнения, кроме первого, фактически не содержат неизвестного x₁. Это означает, что уравнения 2, 3, … n можно рассматривать независимо от первого уравнения как систему n – 1 уравнений с n – 1 неизвестными {x₂, … x_n}. Теперь мы можем повторить ту же самую последовательность операций с элементами второго столбца, считая ведущим элемент a₂₂. После этого нулями станут все элементы второго столбца, кроме первого и второго, причем в первом и втором столбцах все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0⁵⁷.

.

Выполняя эту процедуру последовательно над всеми столбцами до (n 1)-го, мы можем столкнуться с двумя ситуациями:

1) если определитель матрицы A отличен от нуля (матрица A невырожденная), процедура нормально дойдет до конца, и мы приведем матрицу A к форме верхней треугольной матрицы;

2) в какой-то момент у нас сформируется строка основной матрицы, состоящая из одних нулей; это означает, что определитель det A равен нулю (матрица A вырожденная).

Сейчас нас интересует только первый случай, ситуация 2 будет рассмотрена ниже. В нашем случае матрица A примет верхний треугольный вид:

.