5.1. Случай квадратной матрицы (система порядка n n)

В этом параграфе рассматриваются системы, у которых число неизвестных равно числу уравнений. В этом случае матрица системы является квадратной, следовательно, можно вычислить ее определитель, который мы обозначим . Дальнейший анализ ситуации зависит от того, равен или не равен нулю определитель системы . Случай  = 0 будет рассмотрен несколько позже, а в этом и следующем параграфах рассмотрим основной вариант   ≠ 0.

Если  отличен от нуля, то:

 матрица системы не вырождена,

 ранг системы равен n,

 строки матрицы независимы, значит, система совместна при любой правой части,

 столбцы матрицы независимы и образуют базис в пространстве столбцов высоты n, значит, решение всегда единственно.

Рассмотрим способы нахождения этого решения.

5.1.1. Метод обратной матрицы

Так как матрица системы A невырожденная, то она имеет обратную матрицу. При любой правой части b с помощью обратной матрицы решение может быть найдено по формуле:

= A^-1 , (16)⁵⁴

для чего необходимо найти обратную матрицу A^-1 и умножить ее на вектор правых частей b.

Основным недостатком этого метода является большая трудоемкость вычисления обратной матрицы – такая процедура требует вычисления n² определителей (n –1)-го порядка (алгебраических дополнений) и одного определителя n-го порядка, что эквивалентно вычислению n + 1 определителя (n –1)-го порядка. Поэтому такой способ применяется в тех случаях, когда нужно решить серию задач с одной и той же матрицей, но с различными пра-выми частями. В этих случаях целесообразно один раз вычислить обратную матрицу и многократно ее умножать на различные столбцы правых частей.

Пример.

Решить систему уравнений Ax = b для трех правых частей:

.

Прежде всего, вычислим определитель системы путем разложения определителя A по последнему столбцу: . Таким образом, мы установили, что A  невырожденная матрица и по теореме 5 имеет обратную A^-1, равную транспонированной матрице алгебраических дополнений, деленной на определитель A. Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

А₁₁ = – (4) = – 4 А₁₂ = – 8 А₁₃ = –3 – 4 = –7; А₂₁ = – (–3) = 3 А₂₂ = 6 А₂₃ = – (–1 – 4) = 5; А₃₁ = (– 8 + 6) = –2 А₃₂ = 5 А₃₃ = (2 – 6) = – 4.

Т. к. det A = 1, обратная матрица равна A^-1 = . Умножая A^-1 последовательно на столбцы b₁, b₂, b₃, получим:

.

5.1.2. Правило крамера

По правилу Крамера кроме основного определителя системы  нужно вычислить n дополнительных определителей _i, которые получаются из основного определителя заменой i-ого столбца столбцом правых частей системы

После этого неизвестные x_i находятся по формулам

x₁ = ₁/ x₂ = ₂/ … x_n = _n/ (17)

Решение системы по правилу Крамера требует вычисления n + 1 определителя n-го порядка, то есть по объему вычислений примерно эквивалентно решению системы по методу обратной матрицы, но без его преимуществ. Поэтому при решении больших систем формулы Крамера применяются редко.

5.1.3. Пример

Дана система линейных уравнений

Для решения системы линейных уравнений по правилу Крамера необходимо вычислить определитель системы и три вспомогательных определителя, которые получаются из определителя системы последовательной заменой первого второго и третьего столбца столбцом, составленным из правых частей уравнений. Для вычисления определителей воспользуемся разложением определителя по элементам первой строки.

Напомним, что каждый определитель может быть представлен в виде⁵⁵

где a_1j – элементы 1-ой строки, M_1j – соответствующие миноры, т. е. определители второго порядка, которые получаются из исходного вычеркиванием 1-ой строки и j-го столбца. Множитель (–1) появляется в том случае, когда сумма индексов элемента i + j – нечетное число (так в приведенном выше выражении (–1) встречается перед a₁₂ т. к. 1 + 2 = 3 – число нечетное).

.