4.6. Переход к новому базису

Пусть некоторый базис в X_n, а – другой базис в X_n. Построим матрицу C, по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Такая матрица называется матрицей перехода.

⁴⁵.

Обратный переход от к осуществляется с помощью обратной матрицы C^-1. Т. к. столбцы матрицы C линейно независимы, то det C 0 и, значит, обратная матрица C^-1 существует (см. формулу (4)).

Пусть вектор x имеет координаты в базисе и координаты в базисе . Тогда между ними существуют такие соотношения:

= C = C^-1 . (10)

Как видно, умножение на матрицу перехода переводит базис в базис , а координаты х' в координаты х. Таким образом, координаты вектора преобразуются обратно к преобразованию базисов – новые координаты вектора вычисляются по старым координатам с помощью матрицы C^-1.

Теорема 8. Матрица линейного оператора при переходе от старого базиса к новому преобразуется следующим образом

(11) ▄

Отметим, что хотя матрица оператора изменяется при переходе от базиса к базису, однако определитель матрицы при таком переходе не изменяется

⁴⁶

Такие величины, которые не изменяются при переходе от одного базиса к другому, называются инвариантами. Полученный результат свидетельствует, что определитель является инвариантом матрицы линейного оператора.

4.7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Коль скоро линейный оператор имеет различные матрицы в разных базисах, разумно поставить вопрос о «наилучшем базисе», т. е. о таком базисе, в котором матрица оператора имеет наиболее простой и удобный вид. Наиболее простую структуру имеет диагональная матрица

.

С точки зрения вычислительной процедуры, действие оператора A на любой вектор b сводится к умножению вектора b на матрицу оператора A; если эта матрица диагональная, мы получим:

.

Как видим, в этом случае действие оператора A на вектор b сводится к умножению каждой k-ой компоненты вектора на k-ое диагональное число, в частности, действие на k-й базисный вектор сводится к умножению этого вектора на _k.⁴⁷ Определитель такой матрицы также вычисляется очень прос­то – он равен произведению диагональных элементов матрицы det A = ₁  ₂ … _n. Таким образом, видно, что диагональная форма матрицы линейного оператора действительно очень удобна, и потому следует изучить вопрос о возможности приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.

Пусть A: – линейный оператор. Вектор a 0 называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному числу (собственному значению) , если действие оператора A на вектор a сводится к умножению вектора a на число ⁴⁸.

Aa =  a (12)

Из соотношения (12) и определения матрицы оператора видно, что если собственный вектор входит в базис, то отвечающий ему столбец в матрице A содержит только диагональный элемент, а все остальные элементы такого столбца равны 0.

Теорема 9. Собственные векторы {a₁, a₂, … a_k,} оператора A, отвечающие попарно различным собственным значениям {₁, ₂, … _k,} образуют линейно независимую систему векторов. ▄

Следовательно, если у оператора есть n различных собственных значений, у этого оператора есть базис из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид, а по диагонали стоят соответствующие собственные числа, поскольку действие оператора на собственный вектор сводится к умножению на соответствующее собственное число.

Для того, чтобы найти собственные векторы оператора A, перепишем уравнение (12), используя единичную матрицу E:

Aa = a  Aa =  Ea  Aa –  Ea = 0  (A – E)a = 0. (13)

Чтобы уравнение (13) имело ненулевые решения необходимо, чтобы оператор (A – E), а значит и матрица (A – E) были вырожденными. Отсюда ясно, что число  является собственным числом оператора A тогда и только тогда, когда оно является корнем уравнения

det (A – E) = 0. (14)⁴⁹

Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (14), то увидим, что он представляет собой многочлен степени n, этот многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора или характеристическим многочленом матрицы⁵⁰. Задача нахождения собственных чисел оператора сводится к нахождению корней характеристического многочлена, то есть, к решению уравнения степени n. Если у этого уравнения есть n различных корней, то можно построить базис из собственных векторов. Как найти собственные векторы, отвечающие уже найденным собственным значениям, будет рассмотрено в следующей главе.