4.4. Матрица линейного оператора

Пусть A: – линейный оператор, – базис в пространстве-прообразе X_n, а – базис в пространстве-образе Y_m, и пусть при отображении A базисные векторы отображаются в векторы , т. е. Ae_i = a_i.

Поскольку все a_i Y_m, то они имеют соответствующие координаты в базисе . Матрица A, в которой по столбцам стоят координаты образов базисных векторов X_n относительно базиса Y_m, называется матрицей оператора относительно базисов и . То есть, утверждение, что в базисах и оператор A: имеет матрицу эквивалентно системе равенств:

(9)

Таким образом, элементом a_kj матрицы A является k-ая координата образа j-го базисного вектора.

Если оператор A отображает пространство X_n в себя, то матрица оператора – квадратная порядка n, и по столбцам стоят координаты образов базисных векторов в этом же базисе.

Совокупность – образов базисных векторов при отображении A образует полную систему в образе оператора Im_A, т. е. если y Im_A, то он раскладывается (может, неединственным образом) по векторам a_i.

Основной смысл введения матрицы оператора состоит в следующем факте: результат действия оператора A на любой вектор равен результату умножения матрицы A на этот вектор. Тем самым абстрактная теория линейных операторов получает средство для конкретных вычислений – если матрица оператора построена, то можно вычислить результат действия оператора на любой вектор; для этого нужно умножить матрицу на столбец координат вектора в том же базисе, в котором построена матрица оператора. Недостаток такого подхода – несколько громоздкие формулы с большим количеством индексов, которые нужно внимательно читать, а также зависимость результатов от выбора базиса. Поэтому желательно вести рассуждения параллельно на языке операторов и на языке матриц – только оба представления дают полную картину.

Теорема 7. Пусть A  линейный оператор, A  его матрица в некотором базисе. Тогда ранг матрицы A равен рангу оператора A: rg(A) = rg(A). ▄

В самом деле, любой вектор yIm_A представим в виде линейной комбинации столбцов a_i матрицы A⁴². Значит, размерность образа Im_A (а это и есть ранг оператора) равна числу независимых столбцов матрицы A, т. е. ее рангу. ▄

В силу теоремы 7 матрица оператора, отображающего X_n в себя, не вырождена (напомним, что это означает, что матрица квадратная и det A  0) тогда и только тогда, когда не вырожден оператор (напомним, что это означает dim Ker A = 0, т. е. ядро содержит только нуль-вектор).

Матрица произведения операторов равна произведению их матриц в том же порядке (разумеется, все матрицы определяются в одном базисе).

4.5. Примеры

1. Тождественный оператор E имеет единичную матрицу E в любом базисе.

.

Аналогично, нулевой оператор имеет в любом базисе нулевую матрицу.

2. Оператор проектирования на ось P_x имеет матрицу (для плоскости!): поскольку переводит вектор i в себя, а вектор j – в нуль-вектор. Матрица P_x очевидно вырождена.

3. Оператор поворота _ на угол  имеет в стандартном базисе на плоскости матрицу (проверьте!). Эта матрица очевидно не вырождена det _ = 1.

4. Оператор S покоординатного сдвига в K₃ (см. пример 4 параграфа 4.2) в стандартном базисе имеет матрицу S:

.

Матрица, а значит и сам оператор, очевидно вырождены. Оператор S являет собой пример нильпотентного оператора, т. е. такого, некоторая степень которого равна 0.

S S = S² = , а третья степень – S³ = (0)₃ ⁴³.

Таким образом, в отличие от чисел, если произведение двух матриц равно (0)_k, это еще не значит, что одна из них (0)_k, правда, определитель нильпотентной матрицы обязательно равен нулю.

5. Оператор дифференцирования по х D_x = в 4-х мерном пространстве многочленов, степени не выше трех, базисные векторы пространства { } переводит в векторы D_xe₁ = 0, D_xe₂ = 1, D_xe₃ = 2e₂, D_xe₄ = 3e₃. Соответственно, матрица оператора в стандартном базисе имеет вид⁴⁴: . Очевидно, что D_x  вырожденный нильпотентный оператор.