Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Линалг.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
1.79 Mб
Скачать

4.1. Действия над операторами

На множестве операторов с общими пространствами определения и значений естественным образом определяются операции сложения и умножения на число. Пусть A и B линейные операторы, отображающие Xn в Ym. Тогда их сумма тоже линейный оператор D = A + BDx = Ax + Bx x Xn. Аналогично, D = ADx = Axx Xn.

Легко убедиться, что множество операторов, отображающих Xn в Ym, образует линейное пространство, т. к. все аксиомы сложения и умножения на число выполнены.

В пространствах операторов кроме обычных линейных операций можно ввести и операцию умножения. Пусть A и B линейные операторы, отображающие Xn в себя. Последовательное применение линейных операторов называется произведением оператора A на B или композицией отображений. C = ABCx = A(Bx) x Xn. Произведение операторов, вообще говоря, не коммутативно, т. е. AB BA36 , если AB BA, то говорят, что A и B коммутируют .

4.2. Примеры линейных операторов

1. Тождественный оператор – оператор, который отображает пространство Xn в себя и каждому x Xn ставит в соответствие его самого называется тождественным оператором и обозначается E: Ex = xxXn. У тождественного оператора образ – все пространство, а ядро содержит только нуль-вектор.

О

Рис. 3

ператор, который каждому x Xn ставит в соответствие нуль-вектор 0Y, называется нулевым оператором; у нулевого оператора ядром является все пространство, а образ содержит только один вектор 0. Нулевой оператор играет роль нуль-вектора в пространстве операторов. Тождественный и нулевой оператор коммутируют (перестановочны) с любым оператором, который отображает Xn в себя.

2. Оператор Px проектирования на ось x ставит в соответствие любому вектору на плоскости a его проекцию ax на ось x.

У оператора Px образом является ось x, а ядром – ось y.

3. Оператор поворота на угол  вектору на плоскости a ставит в соответствие вектор, который получается из a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол  (на рисунке 4 угол равен /2). Оператор поворота не коммутирует с оператором проектирования (про-верьте!).

Ядро оператора поворота содержит только 0, а образом оператора поворота является вся плоскость.

4

Рис. 4

. Оператор S покоординатного сдвига в K3 ставит в соответствие вектору a K3 вектор Sa K3 по следующему правилу: т. е. i-я координата получает значение (i 1)-й координаты, а первая координата заменяется нулем.

5. Оператор Dx = дифференцирования по x в пространстве многочленов, степени не выше n переводит многочлен Pn(x) = n xn + n-1xn-1 + … + 1x + 0 в элемент того же пространства  многочлен, степени не выше n-1:

(Pn(x))' = nn xn-1 + (n-1) n-1xn-2 + … + 22x + 1.

Поскольку оператор дифференцирования все константы (многочлены степени 0) переводит в нуль, это вырожденный оператор с одномерным ядром  подпространством многочленов степени 0.

4.3. Линейные уравнения

Уравнение

Ax = b, (6)

где A – линейный оператор , называется линейным уравнением; если в правой части стоит нуль-вектор (b = 0), уравнение называется однородным

Ax = 0. (7)37

По определению ядра оператора множество решений уравнения (7) совпадает с ядром A.

Пусть x1некоторое решение неоднородного уравнения (6), а y любое решение соответствующего38 однородного уравнения (7). Тогда их сумма есть решение уравнения (6); действительно:

A(x1 + y) = A x1 + Ay = b + 0 = b.

Обратно, пусть x1, x2 – различные решения неоднородного уравнения (6). Тогда их разность есть решение уравнения (7), т. е. вектор из ядра оператора A.

A(x1x2) = Ax1 – Ax2 = bb = 0.

Таким образом, получается следующий результат:

1. Если оператор A невырожденный (ядро содержит только 0), то решение уравнения Ax = b всегда единственно, а размерность образа равна n-размерности пространства X, в котором оператор определен. Если невырожденный оператор A отображает X в себя39, то решение уравнения (6) всегда существует (у всякого b X есть прообраз). ▄

2. Если A вырожденный оператор, то размерность ядра больше 0. Пусть def(A) = k > 0 и – базис ядра. Тогда общим решение однородного уравнения Ax = 0 является общий вектор y40 из ядра оператора y = 1f1 + 2f2 + + + kfk, где 1,… k – любые числа.

Далее, если A вырожден, то решение неоднородного уравнения Ax = b всегда не единственно (если оно существует), и общее решение неоднородного уравнения (6) имеет вид:

xобщ = x0 + y = x0 + 1f1 + 2f2 + … + kfk. (8)

Здесь x0 – некоторое частное решение уравнения (6), а 1f1 + 2f2 + … + + kfk – произвольный вектор из ядра оператора A; xобщ – общее решение, в том смысле, что (8) описывает совокупность всех решений41.

В этой ситуации размерность образа равна (теорема 6) rg(A) = n – k; решение существует при всяком b Ym только в том случае, когда размерность m пространства образов Y равна n – k: m = n – k = rg(A). В частности, если A отображает X в себя, то решение не всегда существует (не у всякого b X есть прообраз). ▄

Изложенный выше результат называется альтернативой Фредгольма.

Разрешение вопроса о том, является ли данный линейный оператор вырожденным, и если да, то как найти его ядро, требует применения техники матричного исчисления, которая будет изложена ниже.