
- •Принятые обозначения
- •1. Множества
- •1.1. Операции над множествами
- •1.2. Отображения
- •2. Линейные пространства
- •2.1. Примеры линейных пространств
- •2.2 Размерность, базис, координаты
- •2.2.1 Линейная комбинация и разложение по набору
- •2.2.2 Линейная зависимость
- •2.2.3. Некоторые замечания
- •2.2.4. Размерность и базис
- •2.3. Примеры
- •2.4. Изоморфизм линейных пространств
- •2.5. Подпространства
- •2.6. Примеры подпространств
- •3. Матрицы и определители
- •3.1. Действия над матрицами
- •3.2. Определители
- •3.3. Свойства определителей
- •3.4. Примеры
- •3.5. Обратная матрица
- •3.6. Ранг прямоугольной матрицы
- •4. Линейные операторы
- •4.1. Действия над операторами
- •4.2. Примеры линейных операторов
- •4.3. Линейные уравнения
- •4.4. Матрица линейного оператора
- •4.5. Примеры
- •4.6. Переход к новому базису
- •4.7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.1. Случай квадратной матрицы (система порядка n n)
- •5.1.1. Метод обратной матрицы
- •5.1.2. Правило крамера
- •5.1.3. Пример
- •5.2. Метод гаусса. Случай невырожденной квадратной матрицы
- •5.2.1. Прямой ход метода гаусса
- •5.2.2. Обратный ход
- •5.3. Случай прямоугольной матрицы (системы порядка m n)
- •5.3.1. Прямой ход
- •5.3.2. Обратный ход
- •5.4. Пример решения неопределенной системы
- •5.5. Определение ранга матрицы
- •5.6. Нахождение собственных векторов
- •6. Евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
- •6.1. Базисы в евклидовом пространстве
- •6.2. Точки в евклидовом пространстве
- •6.2.1. Сферы и шары
- •6.2.2. Замечание о размерностях
- •6.3. Плоскости в пространстве
- •6.3.1. Неединственность выбора параметров. Каноническая форма уравнения плоскости
- •6.3.2. Геометрический смысл параметров уравнения плоскости
- •6.3.3. Плоскости и линейные функционалы75
- •6.3.4. Сводка формул: плоскость
- •6.4. Прямые в пространстве
- •6.4.1. Геометрический смысл параметров уравнения прямой
- •6.4.2. Прямая, проходящая через две заданные точки
- •6.4.3. Сводка формул: прямая в пространстве
- •6.5. Прямые на плоскости
- •6.6. Векторное и смешанное произведение. Площади и объемы
- •6.6.1. Смешанное произведение и вычисление объемов
- •6.7. Квадратичные формы
- •6.8. Задачи и решения
- •6.8.1. Плоскости и прямые
- •6.8.2. Векторы, длины, объемы
- •6.8.2. Квадратичные формы
4.1. Действия над операторами
На множестве операторов с общими пространствами определения и значений естественным образом определяются операции сложения и умножения на число. Пусть A и B линейные операторы, отображающие Xn в Ym. Тогда их сумма тоже линейный оператор D = A + B Dx = Ax + Bx x Xn. Аналогично, D = A Dx = Ax x Xn.
Легко убедиться, что множество операторов, отображающих Xn в Ym, образует линейное пространство, т. к. все аксиомы сложения и умножения на число выполнены.
В пространствах операторов кроме обычных линейных операций можно ввести и операцию умножения. Пусть A и B линейные операторы, отображающие Xn в себя. Последовательное применение линейных операторов называется произведением оператора A на B или композицией отображений. C = AB Cx = A(Bx) x Xn. Произведение операторов, вообще говоря, не коммутативно, т. е. AB BA36 , если AB BA, то говорят, что A и B коммутируют .
4.2. Примеры линейных операторов
1. Тождественный оператор – оператор, который отображает пространство Xn в себя и каждому x Xn ставит в соответствие его самого называется тождественным оператором и обозначается E: Ex = x xXn. У тождественного оператора образ – все пространство, а ядро содержит только нуль-вектор.
О
Рис.
3
2. Оператор Px проектирования на ось x ставит в соответствие любому вектору на плоскости a его проекцию ax на ось x.
У оператора Px образом является ось x, а ядром – ось y.
3. Оператор поворота на угол вектору на плоскости a ставит в соответствие вектор, который получается из a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол (на рисунке 4 угол равен /2). Оператор поворота не коммутирует с оператором проектирования (про-верьте!).
Ядро оператора поворота содержит только 0, а образом оператора поворота является вся плоскость.
Рис.
4
4
т. е. i-я
координата получает значение (i
1)-й
координаты, а первая координата заменяется
нулем.
5.
Оператор Dx
=
дифференцирования по x
в пространстве
многочленов, степени не выше n
переводит многочлен Pn(x)
= n
xn
+ n-1xn-1
+ … + 1x
+ 0
в элемент того же пространства
многочлен, степени не выше n-1:
(Pn(x))' = nn xn-1 + (n-1) n-1xn-2 + … + 22x + 1.
Поскольку оператор дифференцирования все константы (многочлены степени 0) переводит в нуль, это вырожденный оператор с одномерным ядром подпространством многочленов степени 0.
4.3. Линейные уравнения
Уравнение
Ax = b, (6)
где
A
– линейный
оператор
,
называется линейным
уравнением;
если в правой части стоит нуль-вектор
(b
=
0),
уравнение называется однородным
Ax = 0. (7)37
По определению ядра оператора множество решений уравнения (7) совпадает с ядром A.
Пусть x1 – некоторое решение неоднородного уравнения (6), а y любое решение соответствующего38 однородного уравнения (7). Тогда их сумма есть решение уравнения (6); действительно:
A(x1 + y) = A x1 + Ay = b + 0 = b.
Обратно, пусть x1, x2 – различные решения неоднородного уравнения (6). Тогда их разность есть решение уравнения (7), т. е. вектор из ядра оператора A.
A(x1 – x2) = Ax1 – Ax2 = b – b = 0.
Таким образом, получается следующий результат:
1. Если оператор A невырожденный (ядро содержит только 0), то решение уравнения Ax = b всегда единственно, а размерность образа равна n-размерности пространства X, в котором оператор определен. Если невырожденный оператор A отображает X в себя39, то решение уравнения (6) всегда существует (у всякого b X есть прообраз). ▄
2.
Если A
вырожденный
оператор, то размерность ядра больше
0. Пусть def(A)
= k > 0 и
– базис ядра. Тогда общим решение
однородного уравнения Ax
= 0
является общий вектор y40
из
ядра оператора y
= 1f1
+ 2f2
+
+ … +
kfk,
где 1,…
k
– любые числа.
Далее, если A вырожден, то решение неоднородного уравнения Ax = b всегда не единственно (если оно существует), и общее решение неоднородного уравнения (6) имеет вид:
xобщ = x0 + y = x0 + 1f1 + 2f2 + … + kfk. (8)
Здесь x0 – некоторое частное решение уравнения (6), а 1f1 + 2f2 + … + + kfk – произвольный вектор из ядра оператора A; xобщ – общее решение, в том смысле, что (8) описывает совокупность всех решений41.
В этой ситуации размерность образа равна (теорема 6) rg(A) = n – k; решение существует при всяком b Ym только в том случае, когда размерность m пространства образов Y равна n – k: m = n – k = rg(A). В частности, если A отображает X в себя, то решение не всегда существует (не у всякого b X есть прообраз). ▄
Изложенный выше результат называется альтернативой Фредгольма.
Разрешение вопроса о том, является ли данный линейный оператор вырожденным, и если да, то как найти его ядро, требует применения техники матричного исчисления, которая будет изложена ниже.