4.1. Действия над операторами

На множестве операторов с общими пространствами определения и значений естественным образом определяются операции сложения и умножения на число. Пусть A и B линейные операторы, отображающие X_n в Y_m. Тогда их сумма тоже линейный оператор D = A + B  Dx = Ax + Bx  x X_n. Аналогично, D = A  Dx = Ax  x X_n.

Легко убедиться, что множество операторов, отображающих X_n в Y_m, образует линейное пространство, т. к. все аксиомы сложения и умножения на число выполнены.

В пространствах операторов кроме обычных линейных операций можно ввести и операцию умножения. Пусть A и B линейные операторы, отображающие X_n в себя. Последовательное применение линейных операторов называется произведением оператора A на B или композицией отображений. C = AB  Cx = A(Bx) x  X_n. Произведение операторов, вообще говоря, не коммутативно, т. е. AB  BA³⁶ , если AB  BA, то говорят, что A и B коммутируют .

4.2. Примеры линейных операторов

1. Тождественный оператор – оператор, который отображает пространство X_n в себя и каждому x X_n ставит в соответствие его самого называется тождественным оператором и обозначается E: Ex = x xX_n. У тождественного оператора образ – все пространство, а ядро содержит только нуль-вектор.

О

Рис. 3

ператор, который каждому x  X_n ставит в соответствие нуль-вектор 0_Y, называется нулевым оператором; у нулевого оператора ядром является все пространство, а образ содержит только один вектор 0. Нулевой оператор играет роль нуль-вектора в пространстве операторов. Тождественный и нулевой оператор коммутируют (перестановочны) с любым оператором, который отображает X_n в себя.

2. Оператор P_x проектирования на ось x ставит в соответствие любому вектору на плоскости a его проекцию a_x на ось x.

У оператора P_x образом является ось x, а ядром – ось y.

3. Оператор поворота _ на угол  вектору на плоскости a ставит в соответствие вектор, который получается из a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол  (на рисунке 4 угол равен /2). Оператор поворота не коммутирует с оператором проектирования (про-верьте!).

Ядро оператора поворота _ содержит только 0, а образом оператора поворота является вся плоскость.

4

Рис. 4

. Оператор S покоординатного сдвига в K₃ ставит в соответствие вектору a  K₃ вектор Sa  K₃ по следующему правилу: т. е. i-я координата получает значение (i 1)-й координаты, а первая координата заменяется нулем.

5. Оператор D_x = дифференцирования по x в пространстве многочленов, степени не выше n переводит многочлен P_n(x) = _n xⁿ + _n-1x^n-1 + … + ₁x + ₀ в элемент того же пространства  многочлен, степени не выше n-1:

(P_n(x))' ₌ n_n x^n-1 + (n-1) _n-1x^n-2 + … + 2₂x + _1.

Поскольку оператор дифференцирования все константы (многочлены степени 0) переводит в нуль, это вырожденный оператор с одномерным ядром  подпространством многочленов степени 0.

4.3. Линейные уравнения

Уравнение

Ax = b, (6)

где A – линейный оператор , называется линейным уравнением; если в правой части стоит нуль-вектор (b = 0), уравнение называется однородным

Ax = 0. (7)³⁷

По определению ядра оператора множество решений уравнения (7) совпадает с ядром A.

Пусть x₁ – некоторое решение неоднородного уравнения (6), а y любое решение соответствующего³⁸ однородного уравнения (7). Тогда их сумма есть решение уравнения (6); действительно:

A(x₁ + y) = A x₁ + Ay = b + 0 = b.

Обратно, пусть x₁, x₂ – различные решения неоднородного уравнения (6). Тогда их разность есть решение уравнения (7), т. е. вектор из ядра оператора A.

A(x₁ – x₂) = Ax₁ – Ax₂ = b – b = 0.

Таким образом, получается следующий результат:

1. Если оператор A невырожденный (ядро содержит только 0), то решение уравнения Ax = b всегда единственно, а размерность образа равна n-размерности пространства X, в котором оператор определен. Если невырожденный оператор A отображает X в себя³⁹, то решение уравнения (6) всегда существует (у всякого b  X есть прообраз). ▄

2. Если A вырожденный оператор, то размерность ядра больше 0. Пусть def(A) = k > 0 и – базис ядра. Тогда общим решение однородного уравнения Ax = 0 является общий вектор y⁴⁰ из ядра оператора y = ₁f₁ + ₂f₂ + + … + _kf_k, где ₁,… _k – любые числа.

Далее, если A вырожден, то решение неоднородного уравнения Ax = b всегда не единственно (если оно существует), и общее решение неоднородного уравнения (6) имеет вид:

x_общ = x₀ + y = x₀ + ₁f₁ + ₂f₂ + … + _kf_k. (8)

Здесь x₀ – некоторое частное решение уравнения (6), а ₁f₁ + ₂f₂ + … + + _kf_k – произвольный вектор из ядра оператора A; x_общ – общее решение, в том смысле, что (8) описывает совокупность всех решений⁴¹.

В этой ситуации размерность образа равна (теорема 6) rg(A) = n – k; решение существует при всяком b Y_m только в том случае, когда размерность m пространства образов Y равна n – k: m = n – k = rg(A). В частности, если A отображает X в себя, то решение не всегда существует (не у всякого b X есть прообраз). ▄

Изложенный выше результат называется альтернативой Фредгольма.

Разрешение вопроса о том, является ли данный линейный оператор вырожденным, и если да, то как найти его ядро, требует применения техники матричного исчисления, которая будет изложена ниже.