МЕЖдуНАРОДНыЙ СОЛОМОНоВ УНиВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

ДЛЯ СТУДЕНТоВ

экономического факультета

КИеВ • 2004

Принятые обозначения

$ – существует;

" – все, всякий, любой, для всех, для любого;

L, M, N – множества, линейные пространства; L_k (X_m,Y_n) линейные пространства размерности k (m,n);

R – множество вещественных чисел;

Î – из, элемент, содержится;

' – содержит;

: – такой, что;

Þ – влечёт, следует;

Û

▄

– эквивалентно. Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АÛВ означает АÞВ и ВÞА;

– завершение формулировки, доказательства или замечания;

{ } – совокупность, набор, система;

 – вещественные числа;

a, b, c…x, y – векторы, элементы линейного пространства;

A, B, C – операторы, A, B, C – матрицы;

– сумма по индексу i от 1 до n;

1. Множества

Множество, элемент, принадлежит – первичные неопределяемые понятия. Множеством называют всякую совокупность (набор) объектов, выделенных любым образом. Множества состоят из элементов. В частности, элементами множеств могут быть другие множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Подмножество – множество M называется подмножеством множества K (обозначается M K), если всякий элемент M является одновременно элементом K: (M K)  (xM  xK). Как видно из определения, каждое множество является своим подмножеством. Кроме того, полагается по определению, что пустое множество является подмножеством любого множества. Таким образом, всякое множество имеет два тривиальных подмножества: само множество и пустое множество; все прочие подмножества называются нетривиальными. Отметим, что (M K) & (K M) (M=K) т.е. взаимная принадлежность означает совпадение множеств.

1.1. Операции над множествами

Над множествами определены две основные операции – объединение и пересечение.

Объединением множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств M и N, и только такие элементы:

х M N 

Пересечением множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат одновременно обоим множествам M и N, и только такие элементы:

х M N 

Операции объединения и пересечения коммутативны (переместительный закон) и ассоциативны (сочетательный закон), в силу последнего они определены не только для двух, но и для любого числа множеств:

;

.

Имеет место и дистрибутивность (распределительный закон)

.

В силу сходства свойств операций, объединение называют также сложением множеств, а пересечение – умножением множеств¹.

Операции объединения и пересечения очевидным образом связаны с логическими операциями. А именно, множество истинности для операции «{» (логическое «и», например, «четный и положительный») образуется как пересечение множеств, для элементов которых каждое из условий, объединенных символом «{», справедливо в отдельности. Соответственно, множество истинности для системы условий, связанных символом « » (логическое «или»), образуется как объединение соответствующих множеств, на которых справедливы отдельные условия, входящие в систему².