3.4. Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера m n.

A=

Выделим в ней k строк и k столбцов (k≤ min (m,n)). Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang(A).

Очевидно, что 0≤ r≤ min (m,n), где min (m,n)- меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определит ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример. Найти ранг матрицы:

А=

Решение. Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля.

Значит, rang(A)=2.

= -9-6=-15 ≠0

Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется;

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменяется.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы, используя результат примера с пункта 1.3.

А=

Решение:

А ~ - Канонический вид матрицы А.

А ~ Таким образом, ранг матрицы А равен rang(A)=2.

3.5. Решение матричных уравнений.

Рассмотрим матричное уравнение А Х=В, где А = , Х= : , В=

Умножим обе части уравнения на обратную матрицу:

А^-∙¹А Х=А^-1∙В

Воспользовавшись определением матрицы, получим:

Е∙Х= А^-1∙В, т. к. А∙А^-1=Е

Вспомним свойства операций над матрицей, тогда имеем: Х=А^-1*В, таким образом, мы получим решение матричного уравнения.

Следовательно, для нахождения Х, если известны А и В, надо:

1. найти А^-1;

2. умножить А^-1 на В.

Пример. Решить уравнение А∙Х=В.

А= ; В= ; Х=А_-1∙В

Найдем А_-1; а) det(A)

б) А₁₁=-2; А₁₂=4; А₁₃=1; А₂₁=0; А₂₂=-2; А₂₃=1; А₃₁=2; А₃₂=-2; А₃₃=-1

в)

А= ;

г) А^Т= ;

д) А^-1=

2) Найдем Х=А^-1∙В;

Х= ∙ =

3) Проверка: А Х=В ∙ =

Задания для самостоятельной работы №237. Проверочная работа

Решить матричное уравнение.