§3. Невырожденные матрицы. 3.1 Основные понятия.

Пусть А- квадратная матрица n-го порядка.

A=

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆= det A не равен нулю: ∆≠0. В противном случае (∆=0) – вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица , где a_ij- алгебраическое дополнение элемента a_ij данной матрицы А (оно определяется так же, кК и алгебраическое дополнение элемента определителя).

А*=

Треугольной называется такая квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

T₁= T₂=

Нижнетреугольная верхнетреугольная

Определитель треугольной матрицы любого порядка равен произведению ее диагональных элементов.

Пример.

Det (A)= = 5∙2∙ (-3)=-30

Det (A)= a₁₁∙A₁₁+a₁₂∙A₁₂+a₁₃∙A₁₃=5 -0∙ +0∙ = 5∙2∙ (-3)=-30.

3.2. Обратная матрица.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие.

А*А^-1=А^-1*А=Е, где Е- единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Здесь уместна аналогия с обратным числом. Если а-действительное число, то обратное ему число а-1 можно найти из соотношения а*а^-1=1.

Теорема 3.1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную. ( т. е. ∆≠0)

Свойства обратной матрицы:

1. det(A^-1)=1/det A;

2. (А*В)^-1=В^-1*А^-1;

3. (А^-1)Т=(АТ)^-1.

Правило нахождения обратных матриц(А^-1):

1. Вычисляем определитель: det(A);

2. Вычисляем алгебраические дополнения для каждого элемента : A_ij;

3. Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

А =

4. Транспонируем полученную матрицу .

А^Т = ; А^Т = А*-союзная.

5) Находим обратную матрицу. А^-1= ; т. е. элемент А^Т делим

на det(A).

6) Проверка А^-1*А=А*А^-1=Е.

Пример1. Найти А^-1, если А=

Решение:1) Находим det(A) = = 2*1-3*(-1)=2+3=5≠0;

2) Находим алгебраические дополнения A_ij:

А₁₁=(-1)1+1*|1| = (-1)2*1=1

А₁₂=(-1)1+2*|1| = -1*(-1)=1

А₂₁=(-1)2+1*3=-1*3=-3

А22= (-1)2+2*2=(-1)4*2=2

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений:

А=

4) Транспонируем полученную матрицу А

А^Т = т. е А^Т = А*=

5) Найдем обратную матрицу А^-1= А*/ det(A)

6) Проверка: А∙А^-1= ∙ ∙ =

Пример 2:

А= Ответ: А^-1=

Задания для самостоятельной работы: Проверочная работа

Стр. 225, 234. Найти матрицы, обратные данным.