Метод замены

Логарифмическое неравенство может быть упрощено и сведено к простейшему логарифмическому использованием надлежащей замены. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 14. (МИОО, апрель 2011). Решить неравенство

.

Решение. Запишем неравенство в следующей форме:

.

Пусть . Тогда неравенство примет вид

.

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

Рассмотрим систему ( ). Решим первое неравенство этой системы.

Отсюда получаем . С учетом второго неравенства системы (I) или , получаем решение (I) .

Рассмотрим систему (II). Решим ее первое неравенство.

Отсюда . С учетом второго неравенства системы (II) или , получаем решение (II) .

Объединяя решения (I) и (II), получим решение исходного неравенства

Выполняя обратную замену, имеем

Отсюда получаем .

Ответ: .

Пример 15. (ЕГЭ 2010). Решить неравенство

.

Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

Сделаем замену . Так как неравенство выполняется при всех , то по свойству степени с основанием больше единицы получаем . Отсюда . С учетом последнего неравенства, запишем полученную выше систему

.

Исходное неравенство с переменной будет иметь вид

, где .

Используя свойство логарифма (при допустимых значениях переменной сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения), получим

,

так как и при . Решим последнее неравенство:

.

С учетом ограничения на получаем . Выполнив обратную замену, имеем . Отсюда

.

Ответ: .

Пример 16. (МИОО, 2011). Решите неравенство

.

Решение. Так как

и в соответствии с определение логарифма , то данное неравенство равносильно неравенству

.

Пусть . Тогда получаем , т.е. . Решение последнего неравенства есть множество .

Выполняя обратную замену, получаем

Решим уравнение совокупности:

.

Решим неравенство совокупности:

.

В последнем неравенстве при , т.е. , получаем , что неверно, так как в этом случае и .

При , т.е. при , получаем , что также невозможно, так как и в этом случае произведение .

Ответ: .

Пример 17. (МИОО, апрель 2011). Решить неравенство

.

Решение. Область определения данного неравенства задается условием . Отсюда, логарифмируя по основанию 2 обе части неравенства , получаем .

Преобразуем левую часть исходного неравенства:

.

Получаем

.

Деля в последнем неравенстве на , получим .

Пусть , где . Тогда, решая квадратичное неравенство , получим . Выполняя обратную замену, отсюда получаем , т.е. .

Учитывая условие , запишем ответ: .

Ответ: .

Обобщенный метод интервалов

Применимость метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств .

Метод интервалов допускает обобщение на выражения вида

,

где функции, непрерывные на своей области определения ( – фиксированные натуральные числа).

Пример 18. Решить неравенство

.

Решение. Условия

определяют область допустимых значений неизвестной данного неравенства:

.

Перейдем к логарифмам с основанием 10:

.

Далее получаем

.

Для решения последнего неравенства используем обобщенный метод интервалов.

1. Введем функцию

.

2. .

3. Нули функции найдем из уравнения . Отсюда или , причем , .

4. Найдем промежутки знакопостоянства функции . Так как , , , , то расставляем знаки, как показано на рис. 4.

О

Рис. 4

твет: .

Рассмотрим нестандартные методы решения логарифмических неравенств: метод рационализации, метод оценки.