Расщепление неравенств

Названный метод применяется для решения неравенств вида или , где символ означает один из знаков неравенств . Например,

(7)

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем (I) и (II):

(I) (II)

Решим каждое неравенство системы (I). Для неравенства (1) имеем:

Для неравенства (2) имеем:

Значит все – решения системы (I).

Найдем решение системы (II). Для неравенства (3) имеем:

.

Для неравенства (4) имеем:

Значит все – решения системы (II).

Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ.

Ответ:

Воспользуемся рассмотренным методом и для решения следующего неравенства.

Пример 10. (ЕГЭ 2011). Решить неравенство .

Решение. Значения , при которых определены обе части неравенства, задаются условиями

Отсюда находим значения

.

Для таких получаем, что исходное неравенство равносильно следующему

.

Последнее неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности двух систем.

(I) и (II)

Рассмотрим систему (I). По свойству возрастающей функции на промежутке получаем

Отсюда имеем значения .

Учитывая полученные выше ограничения, получаем решения системы (I): .

Рассмотрим систему (II). Аналогично предыдущему получаем

.

Объединяя найденные решения, получаем значения .

Ответ: .

Метод решения неравенства на промежутках

Разбиение ОДЗ неизвестной неравенства на промежутки позволяет упростить некоторые неравенства. Решение неравенства рассматривают отдельно на каждом промежутке.

Предложим еще один способ решения примеров 7 и 10.

Пример 11. (ЕГЭ-2011). Решить неравенство

.

Решение. Выше уже было установлено, что обе части неравенства определены при .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть . Тогда

,

.

В этом случае неравенство примет следующий вид:

. .

2. Пусть . Тогда

,

.

В этом случае неравенство примет следующий вид:

.

Учитывая, что , имеем .

Объединяя найденные решения, получаем значения .

Ответ: .

Пример 12 (ЕГЭ 2011). Решить неравенство

Решение. Неравенство определено при условиях

то есть при всех значениях .

Приведем данное неравенство к виду

и рассмотрим три случая.

Если значения , то . Тогда получаем неравенство или с решениями для рассматриваемого случая.

Рассмотрим значения , тогда . Имеем неравенство или , с решениями .

Пусть значения . При от логарифмического неравенства придем к неравенству или не имеющих решений на рассматриваемом промежутке. В итоге получаем решение данного неравенства: .

Замечание. Еще один вариант рассмотрения решения данного неравенства при разбиении области его определения на промежутки – заменить данное неравенство следующей равносильной совокупностью систем:

и

Ответ: .

Пример 13 (ЕГЭ 2010). Решить неравенство

.

Решение. Значения , при которых определены обе части неравенства, задаются условиями

.

Для таких преобразуем левую часть исходного неравенства

.

Получаем

.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть . Тогда , поэтому последнее неравенство равносильно неравенству .

Отсюда . Получаем на рассматриваемом промежутке .

2. Пусть . Тогда , поэтому последнее неравенство равносильно неравенству .

Отсюда . Получаем на рассматриваемом промежутке .

Объединяя полученные решения, имеем значения .

Ответ: .