Тема 1.9: "Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"

Цель: Решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретический материал:

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами — это уравнение вида

ay'' + by' + cy = 0 (1),

где a ≠0, b, c — действительные числа.

Характеристическим уравнением для уравнения (1) называется уравнение от переменной k: ak²+bk+c =0.

Алгоритм решения

1. Выписываем характеристическое уравнение для данного уравнения: ak² + bk + c = 0, находим его дискриминант D =b² − 4ac.

2. (а). Если D > 0, общее решение уравнения имеет вид

y =C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x, где k₁ = (−b+√D)/2a , k₂ = (−b−√D)/2a , C₁, C₂ — константы.

(б). Если D = 0, общее решение уравнения имеет вид

y =(C₁ + C₂x)e^kx, где k = − b/2a , C₁, C₂ — константы.

(в). Если D < 0, общее решение уравнения имеет вид

y =e^αx(C₁ cos βx + C₂ sin βx), где α = − b/2a , β =√|D|/2a , C₁, C₂ — кон-

станты

3. Если дана задача Коши, подставляем начальные условия в формулу общего решения и находим соответствующее частное решение.

Примеры вычисления

Пример 1. Найти общее решение ДУ: y'' − 5y' + 4y = 0.

Характеристическое уравнение k² −5k +4 = 0 имеет дискриминант

D = 25 − 4 ・ 4 = 9 > 0, откуда k₁ = 4, k₂ = 1. Общим решением ДУ в этом случае будет y = C₁e^4x + C₂e^x, C₁, C₂ —константы.

Пример 2. Найти общее решение ДУ: y'' − 10y'+ 25y = 0.

Характеристическое уравнение k² − 10k + 25 = 0 имеет дискриминант

D = 100− 4 ・ 25 = 0, откуда k = 5. Общим решением ДУ в этом случае будет y = (C₁ + C₂x)e^5x, C₁, C₂ — константы.

Пример 3. Найти общее решение ДУ: y''− 2y' + 5y = 0.

Характеристическое уравнение k² −2k +5 = 0 имеет дискриминант

D = 4 − 4 ・ 5 = −16 < 0, откуда α = 1, β = 2. Общим решением ДУ в этом случае будет y = e^x(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x), C₁, C₂ — константы.

Задание для практической работы по теме "Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

Вариант 1. 1). y'' − 2y' + y = 0,

2). y’’-2y’+3y=0.

Вариант 2. 1). y'' − 5y' + 6y = 0

2). y’’-4y’+4y=0.

Вариант 3. 1). y’' − 4y' + 3y = 0

2). y’’+4y’+8y=0.

Вариант 4. 1). y'' +3y' +2 y = 0

2). y’’+6y’+9y=0.

Практическое занятие №10

Тема 1.10: «Нахождение решения дифференциальных уравнений Бернулли».

Цель: Решать дифференциальные уравнения Бернулли.

Теоретический материал:

Дифференциальные уравнения вида

y' + P(x)y = Q(x)y^m (1),

где P(x) и Q(x) — дифференцируемые функции, называют линейным уравнением при m = 0, 1 и уравнением Бернулли при m _= 0, 1.

Алгоритм решения.

1. В уравнении (1) сделаем замену y = uv, dy = udv + vdu,

y' = uv'+vu', где u и v — новые неизвестные функции. В итоге имеем:

uv'+vu'+ Puv = Q(uv)^m

u'v + u(v' + Pv) = Q(uv)^m

2. Пользуясь произвольностью выбора функции v, положим ее такой, что выражение в первых скобках обнуляется: v_+P(x)v = 0. Тогда уравнение (1) сводится к системе уравнений:

v' + P(x)v = 0

u'v = Q(x)(uv)^m (2)

3. Решая систему (2), находим функции u и v; общее решение уравнения (1) записываем в виде y = uv.

4. Если дана задача Коши, подставляем начальные условия в формулу общего решения и находим соответствующее частное решение.