Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

пособие по математике Базырова Д.Ф..doc

Скачиваний:

Добавлен:

09.11.2019

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Тема 1.3: «Вычисление производных сложных функций».

Цель: Научиться вычислять производные сложных функций.

Теоретический материал:

Если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то

, или ;

Примеры вычисления производных сложных функций.

Пример 1. Найти производную сложной функции y=,u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:

y'_x =y'_u u'_x =()'_u(x⁴+1)'_x =(2u +. Так как u=x⁴ +1, то

y'_x=(2 x⁴ +2+.

Пример 2. Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e^uи u = x². Имеем: y'_x =y'_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u 2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x.

Пример 3. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'_u(sin x)'_x= .

Пример 4. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

Задание для практической работы по теме «Вычисление производных сложных функций». Найти производные сложных функций:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Уровень А. 1. y=(x²+1)³ 2. y=arcsin 2x Уровень В. 3. y=(2⁵^x⁺⁵)³ 4.	Уровень А. 1. y= 2. y=cos (x²-6) Уровень В. 3. y= ln (1+9x)³ 4.	Уровень А. 1. y=lg10x 2. y= arcsin 3x Уровень В. 3. 4. y=arcos(cos lnx)
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
Уровень А. 1. y=5⁵^x 2. Уровень В. 3. y=arctg ln x² 4.	Уровень А. 1. y=4^cosx 2. y=log₂(5-x³) Уровень В. 3. 4.	Уровень А. 1. y=4+4⁴^x 2. Уровень В. 3. y=3^1/x 4.
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
Уровень А. 1. y=arctg(5-x) 2. y=2^sinx Уровень В. 3. y=log₆(5x+8)² 4.	Уровень А. 1. y=log₃4x 2.y=tg(x-3) Уровень В. 3. y=9^arcsin⁵^x 4.	Уровень А. 1. y=cos (x²-6) 2. y=(x²+1)³ Уровень В. 3. y=(2⁵^x⁺⁵)³ 4.

практическая работа № 4

Тема 1.4:«Вычисление производных высших порядков функции нескольких переменных».

Цель: Научиться вычислять производные высших порядков функции нескольких переменных

Теоретический материал: Производные высшего порядка.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается: .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1 .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Пример 2

; ;

; .

Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Для функции трех переменных .

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: .

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .