Раздел 4. Численное дифференцирование и интегрирование.

Практическая работа № 16

Тема 4.1: «Нахождение значения производной функции в точке Х по заданной таблично функции у=f(х) методом численного дифференцирования».

Цель: Находить значение производной функции в точке Х по заданной таблично функции у=f(х) методом численного дифференцирования.

Теоретический материал

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Метод конечных разностей — широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, то есть построить его конечно-разностную схему.

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции :

где

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями в узлах интерполяции, то есть

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

Конечной разностью порядка (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка , то есть

Пример1. Дана таблица некоторой функции

i	xi	yi
0	8,8	5,9
1	8,9	5,4
2	9	4,8

Вычислить конечную разность Δ²y_0.

_{Оформим решение в виде таблицы:}

i	xi	yi	Δy	Δ2y
0	8,8	5,9	5,4-5,9=-0,5	-0,6-(-0,5)=-0,1
1	8,9	5,4	4,8-5,4=-0,6
2	9	4,8

Ответ: Δ²y₀ = -0,1.

Рассмотрим использование интерполянта для нахождения производной функции в точке х по заданной таблично функции у=f(х) методом конечных разностей на примере.

Пример2. Некоторая функция y=f(x) задана в виде таблицы

xi	0	1	2	3
yi	3,1	5,2	7,2	9,2

Требуется найти значение производной данной функции в некоторой точке. Можно заменить данную функцию, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией (интерполянтом) y=φ(x), для которой φ(x)⋲f(x) и найти производную функции y=φ(x). Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями х) постоянен, то можно воспользоваться формулой:

(*)

Вычисления будем производить с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции y=f(x) необходимо найти f '(0,3).

h=1-0=1, t=(x-0)/1=x.

Вычисление конечных разностей оформим в виде таблицы:

i	xi	yi	Δy	Δ2y	Δ3y
0	0	3,1	5,2-3,1=2,1	2-2,1=-0,1	0-(-0,1)=0,1
1	1	5,2	7,2-5,2=2	2-2=0
2	2	7,2	9,2-7,2=2
3	3	9,2

Тогда, подставив полученные значения в формулу (*) , получим

.

Далее находим φ'(x) и φ'(0,3). Получим, что φ'(0,3)=2,2.

Задание для практической работы по теме «Нахождение значения производной функции в точке Х по заданной таблично функции у=f(х) методом численного дифференцирования».

Некоторая функция y=f(x) задана в виде таблицы. Найти приближенно f ' (a) с помощью конечных разностей..

Вариант 1. а=0,2
xi 0 1 2 3 yi 3 5 7 9

Вариант 2. а=2,5
xi 2 3 4 5 yi 4 6 8 10
Вариант 3. а=0,2
xi 0 1 2 3 yi 1 3 5 7

Вариант 4. а=3,1
xi 3 4 5 6 yi 7 9 11 13

Вариант 5. а=0,5
xi 0 1 2 3 yi 3 5 7 9

Практическая работа № 17

Тема 4.2: «Приближенное решение задачи Коши дифференциального уравнения y'=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀ методом Эйлера».

Цель: Решать приближенно дифференциальное уравнение вида y'=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀ (задачи Коши) методом Эйлера.