2.2.2 Некоторые приемы умножения целых чисел

1. Умножение на 5. Предполагается, что вы умеете быстро и уверенно делить на 2. Тогда вместо умножения на 5 лучше умножить на 10 и результат поделить на 2. Например: 3675 = 3670 : 2 = 1835

2. Умножение на 8 и 9. В большинстве случаев умножать на 9 крайне нерационально. Разумнее умножить на 10, после чего отнять первый сомножитель. Например: 123  9 = 1230 – 123 = 1107; таким образом, мы рассматриваем 9 как (10 – 1).

Понятно, что в той же идеологии рассматриваются умножения на 19, 29, 39 и т.п.

524  39 = 524  (40 – 1) = 20960 – 524 = 20436.

Достаточно часто полезно поступать таким же образом при умножении на числа, заканчивающиеся на 8, пример : 86  18 = 86  (20 – 2) = 1720 – 172 = 1720 – 200 + 28 = 1548

2.2.3 Сложение и вычитание дробей

При выполнении операций по сложению и умножению дробей следует придерживаться некоторых простых правил, которые помогут избежать ошибок при счете и сократят время счета.

1. Не следует вовлекать целые числа в операции с дробями. Если предстоит сложить два рациональных числа, причем у них есть целые части, следует складывать целые части отдельно, а дробные – отдельно. В худшем случае, если в результате сложения дробных частей получится неправильная дробь, придется увеличить целую часть суммы не единицу. Но обычно это целесообразнее перевода целых в неправильную дробь до сложения – при рекомендуемом подходе вы просто будете иметь дело с меньшими числами.

Например: 2¾ + 5½ = (2+5)( ) = 7( )=7 = 8¼

При вычитании следует действовать в общем таким же образом, за исключением того случая, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого; в последнем случае целесообразно перевести одну единицу вычитаемого в дробную часть.

Например: , здесь мы 1 т.е. отделили от 5 и перевели в дробную часть

Или несколько более сложный вариант, получающийся при вычитании:

Обратите внимание на действие, следующее за четвертым знаком «=» . У нас дробная и целая части получились разных знаков. В таком случае нужно на единицу уменьшать целую часть результата – и мы в дробную часть вписываем , одновременно уменьшая на единицу целую часть, но уменьшая по абсолютной величине (т.к. мы по абсолютной величине уменьшали отрицательное число, то само число увеличилось – ведь -1 это больше, чем -2).

Впрочем, если для отрицательных результатов предложенная схема кажется вам слишком трудной, пользуйтесь привычной для вас схемой счета.

2. Главной трудностью при сложении и вычитании дробей является нахождение общего знаменателя. Конечно, можно просто перемножить знаменатели, полученный результат наверняка будет общим знаменателем. Недостаток этого метода в том, что при больших знаменателях он приводит к неоправданно сложным вычислениям. Можно конечно при сложении просто перемножать знаменатели, но умножение 36 на 48 – не самая приятная операция. В то время, как вполне очевидно, что 36 = 312, а 48 = 412, соответственно, вполне достаточно умножить первую дробь на 3, а вторую на 4.

Важное замечание!!

Если сложение дробей не есть окончательный ответ задачи, лучше умножение в знаменателе и вовсе не вычислять. Неочевидно, какие еще действия с дробью-ответом нам предстоят, а потому лучше оставить знаменатель частично разложенным на множители, т.е. оставить знаменатель в виде 483 или 364.

Для упрощения вычислений желательно найти самый малый из общих знаменателей, а для этого следует мысленно разложить на простые множители каждый из знаменателей.

Например 48 = 2 2 2 2 3, 36 = 2 2 3 3. Вполне очевидно, что у 36 не хватает двух двоек, или четверки, а у 48 одной тройки. Следовательно, общий знаменатель для 36 и 48 образуется присоединением одной тройки к 48 и составит 483 = 144

Или другой пример: 28 = 2 2 7, а 105 = 3 5 7. У 105 очевидно не хватает четверки, значит общий знаменатель 4105 = 420 (но может умножать и не стоит, стоит оставить 4105 ).

Чтобы приобрести навык разложения на множители, проделайте следующее упражнение.

Упражнение 2.5 Разложите на множители все числа от 1 до 82.