2.1.3 Рациональные числа
Совокупность
всех дробей, т.е. всех чисел, которые
можно представить в виде отношений двух
целых чисел
,
называется множеством рациональных
чисел. При
этом:
- каждое число имеет бесконечное множество представлений в виде таких отношений;
- среди всех этих представлений одного рационального числа существует представление с наименьшим знаменателем, его называют основным;
- все представления данного числа получаются из его представления с наименьшим знаменателем путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число;
-
если
–
основное представление дроби, то всякое
иное представление той же самой дроби
имеет вид
,
где k
натуральное число.
Отметим также следующее: хотя, вообще говоря, знаменатель может быть любым целым, кроме нуля, традиционно знак «–» приписывается либо числителю, либо дроби в целом. Дробь приобретает знак «–», если числитель и знаменатель разного знака. И, если мы получили дробь в результате деления целых, независимо от того, кто был отрицателен изначально – числитель или знаменатель, знак минус приписывается числителю, если знаки у них разные.
Кроме записи в виде отношений существует еще один важный способ записи рациональных чисел – это запись в виде десятичных дробей. Десятичная дробь представляет собой бесконечную последовательность десятичных цифр, которая содержит одну запятую. Конечная последовательность цифр слева от запятой называется целой частью, а бесконечная последовательность после запятой называется дробной частью. Рациональным числам соответствуют только и исключительно периодические десятичные дроби. Это значит, что у каждой такой дроби начиная с определенного момента повторяется одно и то же сочетание цифр, например –132,487325325325325...Здесь очевидно бесконечное число раз повторяется сочетание 325, такое повторяющееся сочетание цифр называется периодом десятичной дроби. Приведенное ранее число с учетом наличия периода записывают так: 132,487(325); круглыми скобками выделен период. Когда мы видим конечную запись десятичной дроби, например 0, 25, следует понимать, что период у этой дроби тоже есть, но период этот 0, а такой период можно по умолчанию не указывать при написании. Т.е. 0,25 строго говоря, следовало бы писать так: 0,25(0), просто договорились период равный нулю не указывать, а отсутствие периода в начертании числа прочитывать как период (0) по умолчанию.
Вообще говоря, начертание десятичных дробей однозначное (в отличие от обычных отношений) за одним важным исключением 0,23(9) = 0,24(0) по определению. Т.е. в ситуации, когда у дроби оказывается период (9), последнюю цифру перед периодом увеличивают на единицу, а в период ставят (0). Такие числа считаются равными по определению, или, что то же самое, представляют собой две формы записи одного и того же числа. Число 1,17(9) записывается проще как 1,18, ибо по принципу умолчания период (0) можно вообще не указывать.
Итак, рациональные числа это дроби, или рациональные числа есть периодические десятичные дроби – это эквивалентные определения.