- •I. Предварительные сведения
- •1. Некоторые сведения из теории множеств и логики высказываний
- •1.1. Операции над множествами
- •1.2 Утверждения и логические операции
- •1.2.1 Логические величины и утверждения. Множество истинности
- •1.2.2 Что означает слово «можно»?
- •1.2.3 Логические операции. Логические «и» и логическое «или».
- •1.2.4 Логические операции. Отрицание (логическое «не»)
- •1.2.5 Необходимо и достаточно, влечет и следует
- •2. Числа
- •2.1 Целые и рациональные числа
- •2.1.1 Целые числа
- •2.1.2 Дроби.
- •2.1.3 Рациональные числа
- •2.2 Приемы устного счета
- •2.2.1 Вычитание из круглых чисел и использование этого приема
- •2.2.2 Некоторые приемы умножения целых чисел
- •2.2.3 Сложение и вычитание дробей
- •2.3 Вещественные числа
- •2.3.1 Аксиомы вещественных чисел
- •2.3.2 Следствия из аксиом сложения
- •2.3.3 Аксиомы умножения.
- •2.3.3 Следствия из аксиом умножения
- •2.3.4 Аксиомы порядка.
- •2.3.5 Следствия из аксиом порядка
- •2.3.6 Аксиома о точной верхней грани и ее следствия
- •2.3.7 Степени и корни
- •II. Функции
- •1. Определение и основные понятия
- •1.1 Соответствия
- •1.2 Функция, отображение, оператор
- •1.3 Вещественнозначные функции вещественной переменной
- •1.3.1 Графики вещественных функций
- •1.3.2 Свойства вещественных функций
- •2. Степенные функции и многочлены
- •2.1 Линейные функции одной переменной
- •2.1.1 Постоянные функции
- •2.1.2 Прямая пропорциональность
- •2.1.3 Линейные функции общего вида.
- •2.2 Степенные функции
- •2.2.1 Графики и основные свойства
- •2.2.2 Сравнение степеней вблизи нуля и на бесконечности. Доминирование
- •2.3 Многочлены
- •2.3.1 Зависимость однородных многочленов от расстояния до начала координат
- •2.3.2 Тождественные преобразования выражений, содержащих многочлены
- •2.3.3 Многочлены от одной переменной
- •2.3.4 Графики многочленов от одной переменной
- •2.3.5 Полиномиальные и рациональные неравенства
- •Дополнения
1.2 Утверждения и логические операции
Одной из центральных задач математики является решение различных типов уравнений и неравенств. В школе основное внимание уделяется линейным и квадратным уравнениям и соответствующим неравенствам, но при этом главные усилия сосредоточены прежде всего на технике достижения результата. К сожалению, при этом зачастую как-то забывается смысл и цель решаемой задачи. Как итог наблюдается следующая странная картина: 75% выпускников умеют находить корни квадратных уравнений, но при этом только 20% способны толково объяснить, а что это такое – корень уравнения? Попробуем разобраться в этом вопросе с точки зрения логики и множеств, нам это будет полезно в дальнейшем.
1.2.1 Логические величины и утверждения. Множество истинности
Мы привыкли к тому, что величины, переменные и постоянные, принимают числовые значения, несколько менее привычными являются для нас величины, принимающие векторные значения. Но есть еще один вид величин, играющих в математике очень важную роль – это величины логические. Такие величины могут принимать только два возможных значения: «истина» и «ложь» (часто используются английские слова true и false). Всякое утверждение есть с этой точки зрения логическая величина. Утверждения «Волга впадает в Каспийское море» и «22 = 4» имеют значение «истина» (.t.), а (5 3) = «ложь» (.f.).
Нами приведены примеры утверждений, не содержащих переменных величин, и потому принимающих постоянное значение – либо «истина», либо «ложь». Но могут существовать высказывания, содержащие переменные величины; значение таких высказываний меняется в зависимости от значения входящих в них величин. Например, (22 = 4) = «истина» - высказывание, не содержащее переменных. Но (2W = 4) = «истина» только при W = 2, во всех остальных случаях (2W = 4) = «ложь».
Таким образом, у каждого утверждения, содержащего переменные величины, существует свое множество истинности: это совокупность всех значений входящих в высказывание переменных, при которых высказывание является истинным (принимает значение «истина»).
С такой точки зрения всякое уравнение, всякое неравенство, либо всякая система уравнений и неравенств, соединенных знаками логических операций (”{“, “[“, “”, “”), представляет собой высказывание, имеющее свое множество истинности.
А решить уравнение (неравенство, систему) как раз и означает найти его множество истинности.
1.2.2 Что означает слово «можно»?
Обычная процедура решения уравнений сводится к выполнению некоторых действий, упрощающих вид наших уравнений. Но целью является нахождения множества истинности нашей задачи. Поэтому мы можем с исходными системами делать не все, что нам хотелось бы. Допустимыми являются только такие преобразования исходной задачи, которые не изменяют ее множества истинности. В противном случае мы получим «лишние» решения – если в процессе преобразований множество истинности расширилось, или «потеряем» некоторые решения – если в процессе преобразований множество истинности сузилось.
Отсюда вытекает необходимость установить – какие преобразования можно выполнять с уравнениями и неравенствами так, чтобы их множеств истинности не менялось.
Два утверждения называются эквивалентными, если совпадают их множества истинности.
Преобразование задачи называется допустимым, если оно не изменяет множества истинности задачи (приводит к эквивалентному утверждению).
Именно такой смысл имеет в математике слово «можно». Когда математик пишет: «К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число» это означает, что после выполнения указанной процедуры мы получим неравенство с точно таким же множеством истинности, какое было у исходного неравенства6.