5.5 Оценка погрешности при косвенных измерениях

Под косвенными измерениями понимают измерения, результат которых получают вычислением по известным математическим зависимостям, выраженных в виде явной функции, т.е. .

Величины x₁, …, x_i, …, x_m, подвергают прямым измерениям и их называют измеряемыми аргументами. Например,

или .

Наиболее распространены случаи, когда значения аргументов получены прямыми измерениями с однократными наблюдениями. Хотя имеют место случаи, когда значения аргументов получают прямыми измерениями с многократными наблюдениями.

Результат косвенного измерения получают подстановкой значений аргументов в функцию.

Предположим, что косвенное измерение описывается функцией одного аргумента и ее графическое изображение имеет вид, представленный на рис.5.4.

Рисунок 5.4 – К оценке погрешности косвенного измерения

Из рисунка следует, что погрешность косвенного измерения вычисляется по выражению:

,

(5.9)

где − частная производная функции по аргументу в точке результата измерений аргумента X_изм. Данная производная представляет собой угол наклона касательной к функции в точке результата измерений и является коэффициентом влияния погрешности аргумента на погрешность функции.

Если косвенное измерение описывается функцией , и погрешности аргументов являются систематическими, то погрешность косвенного измерения получают суммированием погрешностей аргументов с учетом их коэффициентов влияния:

(5.10)

Если погрешности аргументов являются случайными, независимыми (некоррелированными) и распределенными по нормальному закону в заданных границах, то переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов с учетом их коэффициентов влияния :

(5.11)

Если погрешности аргументов являются случайными, независимыми (некоррелированными) и распределенными по различным законам в заданных границах, то оценка погрешности результата косвенного измерения осуществляется по выражению:

, где

(5.12)

и S_Xi – оценка СКО i− ого аргумента, а коэффициент k определяется доверительной вероятностью P и законом распределения погрешности параметра Q (см. Приложение В).

Выражения (5.11) и (5.12) справедливы, если погрешности измерений аргументов независимы, т.е. коэффициент корреляции между ними .

Пример 1.

Общее сопротивление участка цепи R_общ = R₁ + R₂. Результаты измерений аргументов: R₁ = 100 Ом; R₁ =  1 %; R₂ = 1 Ом; R₂ =  10 %. Определить результат косвенного измерения и его относительную погрешность.

Общее сопротивление R_общ = 100 Ом + 1 Ом = 101 Ом.

Погрешности аргументов будем полагать систематическими. По выражению (5.10)

.

Так как частные производные равны 1, то R_общ = R₁ + R₂. Данное соотношение в относительной форме

.

Поскольку из выражения (3.2) следует, что Q = Q *Q; заменим в предыдущем выражении абсолютные погрешности

Подставляя в данное выражение исходные данные, получим, δR_общ=  1 %  0,1 %, т.е. не более  1,1 %. Таким образом R_общ = 101 Ом  1,1 %. В случае, если такая погрешность превышает требуемое значение, для достижения требуемой точности необходимо уменьшать погрешность R₁ =  1 %.

Пример 2. Электрическую мощность измеряли косвенно через прямые измерения постоянного напряжения и тока: P = U*I. Результаты и погрешности измерений аргументов составили U = 100 В; U =  1 %. I = 1 A; I =  10 %.

Требуется определить результат косвенного измерения и его относительную погрешность.

Искомое значение мощности P = U*I = 100 В* 1 А = 100 Вт.

Погрешности аргументов также будем полагать систематическими. По выражению (5.10) Найдем частные производные С учетом данных значений перепишем выражение для погрешности в относительной форме

Таким образом, P = 100 Вт  11%. В случае, если такая погрешность превышает требуемое значение, для достижения требуемой точности необходимо уменьшать погрешность I =  10 %.

Сравнивая примеры 1 и 2, получим следующий вывод: необходимо планировать методику косвенных измерений таким образом, чтобы ни один из аргументов, определяемый прямыми измерениями, не вносил в конечный результат погрешность, превышающую погрешности от других аргументов.

Пример 3. Промежуточная частота на выходе смесителя F = F₁ – F₂. Значение частоты F₁ = 105 МГц, F₂ = 100 МГц. Нестабильность частоты является величиной случайной, распределенной по нормальному закону и лежит в пределах F₁ = F₂ =  0,01 %. Необходимо оценить относительную нестабильность промежуточной частоты.

Для оценки нестабильности частоты F в абсолютной форме воспользуемся выражением (5.11)

.

Данное соотношение в относительной форме

.

Подставляя вместо F = F *F , а вместо F = F₁ – F₂ ,получим

Таким образом, частота на выходе смесителя F = 5 МГц  0,29 % при том, что F₁ = F₂ =  0,01 %.

Методы обработки результатов косвенных измерений изложены в Методических указаниях РД 50−555−85 «Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей».