- •Раздел 1, Элементы общей теории сигналов.
- •Раздел 2. Преобразование Фурье.
- •2.1.2 Спектральное представления последовательности
- •2.1.2 Спектральное представления последовательности
- •Раздел 3. Корреляционный анализ.
- •Лекции по рцс.
- •Раздел 1, Элементы общей теории сигналов. Классификация сигналов
- •Ряд Фурье
- •Синусно-косинусная форма
- •Вещественная форма
- •Комплексная форма
- •Раздел 2. Преобразование Фурье. Примеры разложения сигналов в ряд Фурье
- •Последовательность прямоугольных импульсов
- •Пилообразный сигнал
- •Последовательность треугольных импульсов
- •Преобразование Фурье
- •Примеры расчета преобразования Фурье
- •Прямоугольный импульс
- •Несимметричный треугольный импульс
- •Симметричный треугольный импульс
- •Односторонний экспоненциальный импульс
- •Двусторонний экспоненциальный импульс
- •Гауссов импульс
- •Сигнал вида sin(X)/X
- •Свойства преобразования Фурье
- •Линейность
- •Задержка
- •Дифференцирование сигнала
- •Интегрирование сигнала
- •Спектр свертки сигналов
- •Спектр произведения сигналов
- •Умножение сигнала на гармоническую функцию
- •Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье
- •Фурье-анализ неинтегрируемых сигналов
- •Дельта-функция
- •Постоянный во времени сигнал (константа)
- •Функция единичного скачка
- •Гармонический сигнал
- •Раздел 3. Корреляционный анализ. Корреляционный анализ
- •Взаимная корреляционная функция
- •Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов
- •Энергетические расчеты в спектральной области
- •Комплексная огибающая
- •Преобразование Гильберта
- •Спектр аналитического сигнала
- •Случайные сигналы
- •Ансамбль реализаций
- •Модели случайных процессов
- •Гармонический сигнал со случайной начальной фазой
- •Вероятностные характеристики случайных процессов
- •Функциональные характеристики
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные функции случайных процессов
- •Некоррелированность и статистическая независимость
- •Стационарные и эргодические случайные процессы
- •Стационарные случайные процессы
- •Эргодические случайные процессы
- •Спектральные характеристики случайных процессов
- •Случайный телеграфный сигнал
- •Вероятностные характеристики случайных процессов
Корреляционные функции случайных процессов
Как отмечалось в разделе «Вероятностные характеристики случайных процессов», одномерной плотности вероятности недостаточно для описания поведения случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, располагая двумя сечениями случайного процесса в произвольные моменты времени t1 и t2 (см. рис. 1.29). Совокупность этих двух сечений образует двумерную случайную величину {X(t1), X(t2)}, которая описывается двумерной плотностью вероятности р(х1, х2, t1, t2). Произведение р(х1, х2, t1, t2)dx1dx2 представляет собой вероятность того, что реализация случайного процесса X(t) в момент времени t1 попадает в бесконечно малый интервал шириной dx1 в окрестности x1, а в момент времени t2 — в бесконечно малый интервал шириной dх2 в окрестности х2:
Естественным обобщением является n-мерное сечение случайного процесса, приводящее к n-мерной плотности вероятности p(x1, x2, …, xn, t1, t2, …, tn). При n→∞ такая функция является исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса.
Описание свойств случайных процессов с помощью многомерных плотностей вероятности высокой размерности может быть весьма подробным, однако на этом пути часто встречаются серьезные математические трудности. К счастью многие задачи, связанные с описанием случайных сигналов, удается решить на основе двумерной плотности вероятности.
В частности, задание двумерной плотности вероятности р(х1, х2, t1, t2) позволяет определить важную характеристику случайного процесса — его ковариационную функцию
Kx = (t1, t2) = M{x(t1)x(t2)}.
Согласно этому определению, ковариационная функция случайного процесса Х(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X(t) в моменты времени t1 и t2.
Для каждой реализации случайного процесса произведение х(t1)х(t2) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности р(х1, х2, t1, t2). Если эта плотность вероятности известна, операция усреднения по множеству осуществляется по формуле
Часто при анализе случайных процессов основной интерес представляет их флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется корреляционная функция, представляющая собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t) - mx(t) в моменты времени t1 и t2.
Корреляционная функция характеризует степень статистической связи тех значений случайного процесса, которые наблюдаются при t = t1 t= t2. При t1 = t2 = t последнее выражение соответствует определению дисперсии случайного процесса X(t) (см. формулу (133)). Следовательно, при совмещении сечений функция корреляции равна дисперсии:
(1.38)
ЗАМЕЧАНИЕ
Так сложилось, что в иностранной литературе используется обратная терминология — называется корреляционной (correlation). a ковариационной функцией (соvariance). Во избежание недоразумений об этом следует помнить при работе с зарубежными источниками. Впрочем, при анализе центрированных (имеющих нулевое математическое ожидание) случайных процессов корреляционная и ковариационная функции совпадают.
В качестве примера рассчитаем корреляционную функцию гармонического сигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой (см. раздел «Модели случайных процессов» ранее в этой главе).
Можно легко убедиться, что данный случайный процесс является центрированным, то есть его математическое ожидание не зависит от времени и равно нулю:
(1.39)
Поэтому ковариационная и корреляционная функции данного процесса совпадают и могут быть найдены следующим образом (поскольку реализации данного случайного процесса представляют собой функции, зависящие от одной случайной величины, для усреднения произведения пет необходимости прибегать к двумерной плотности вероятности — достаточно воспользоваться формулой (1.32), позволяющей произвести усреднение произвольной функции от случайной величины):
Здесь в первом слагаемом интегрирование производится по двум периодам функции cos, поэтому данный интеграл равен нулю. Во втором слагаемом подынтегральная функция не зависит от переменной интегрирования φ, так что результат интегрирования равен произведению подынтегрального выражения и длины промежутка интегрирования, равной 2π. Окончательно получаем
(1.40)
Как видите, корреляционная функция данного случайного процесса гармонически зависит от расстояния между анализируемыми моментами времени. При совпадении моментов времени t1 и t2 мы получаем величину дисперсии случайного процесса:
(1.41)