Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье

Пусть s(t) — сигнал конечной длительности, а — его спектральная функция.

Получим на основе s(t) периодический сигнал, взяв период повторения Т не меньше длительности сигнала:

Сравнивая формулы (1.11) для расчета преобразования Фурье сигнала s(t) и (1.9) для расчета коэффициентов ряда Фурье сигнала s_T(t), можно заметить, что эти формулы предполагают вычисление одного и того же интеграла. Различие состо­ит в том, что для расчета коэффициентов ряда Фурье в подынтегральное выра­жение подставляются не произвольные, а дискретные значения частоты ω_k=2πk/T и, кроме того, результат интегрирования делится на период сигнала Т. Таким образом, между спектральной функцией S(ω) одиночного импульса и ко­эффициентами С_к ряда Фурье для периодической последовательности таких импульсов существует простая связь:

ЗАМЕЧАНИЕ

Данная формула справедлива и в том случае, если период повторения импульсов меньше их длительности (то есть если соседние импульсы периодической последовательности пе­рекрываются).

Фурье-анализ неинтегрируемых сигналов

При введении понятия преобразования Фурье были указаны условия его приме­нимости: выполнение условий Дирихле и абсолютная интегрируемость сигнала. Однако в ряде случаев можно применить преобразование Фурье и к сигналам, этим условиям не удовлетворяющим, и получить при этом вполне осмысленный и практически полезный результат.

Итак, в данном разделе мы воспользуемся преобразованием Фурье для спек­трального анализа таких сигналов, к которым оно формально неприменимо.

Дельта-функция

Прежде всего вычислим преобразование Фурье для сигнала в виде дельта-функ­ции (о ее свойствах шла речь в разделе «Классификация сигналов», и фильтрую­щее свойство (1.1) нам сейчас как раз понадобится):

.

Спектр дельта-функции представляет собой константу, то есть является равно­мерным в бесконечной полосе .частот. Это вполне согласуется с общим соотношением между длительностью сигнала и шириной его спектра: дельта-импульс имеет бесконечно малую длительность, а его спектр бесконечно широк.

Из полученного результата следует, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразования Фурье следующим образом:

. (1.19)

Это полезное соотношение мы используем при анализе следующего сигнала.

Постоянный во времени сигнал (константа)

Поскольку мы уже знаем, что спектром дельта-функции является константа, бла­годаря дуальности преобразования Фурье можно сразу же сказать, что спектром константы (s(t) = А) будет дельта-функция частоты. Проверим это, воспользо­вавшись только что полученным соотношением (1.19):

Наши предположения полностью подтвердились. Здесь опять хорошо прослежи­вается обратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной его спектра: бесконечно протяженный сигнал имеет бесконечно узкий спектр.

Функция единичного скачка

Функция единичного скачка (1.2) (см. раздел «Классификация сигналов») пред­ставляет собой интеграл от дельта-функции, поэтому, в соответствии со свойст­вами преобразования Фурье (см. предыдущий раздел), мы получаем

.

Поскольку дельта-функция имеет ненулевую (равную 1) постоянную состав­ляющую, то в полном соответствии с формулой (1.15), приведенной для данного случая в разделе «Свойства преобразования Фурье», в спектре появляется до­полнительное слагаемое в виде дельта-функции на нулевой частоте.