5. Примеры решения задач по молекулярной физике и термодинамике

5.1. Азот массой 7 г находится под давлением р = 0,1 МПа и при температуре Т₁ = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V₂ = 10 л. Определите: 1) объем (V₁) газа до расширения; 2) температуру Т₂ газа после расширения; 3) плотности газа до (ρ₁) и после (ρ₂) расширения.

Дано: М = 28∙10³ кг/моль; m = 7 г = 7∙10^-3 кг; р = 0,1 МПа = 0,1∙10⁶ Па; Т₁ = 290 К; V₂ = 10 л = 10∙10^-3 м³. V₁ -? Т₂ -? ρ₁ -? ρ₂ -?

РЕШЕНИЕ

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона до расширения газа и найдем объем V₁: рV₁ = m/M)RT₁; V₁ = ; m – масса газа; М – молярная масса; R- газовая постоянная; Т₁ – температура до расширения. V₁ = = 6,02∙10^-3 м^-3 ; Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона после расширения газа и найдем температуру Т₂: рV₂ = m/M)RT₂; Т₂ = ; Т₂ = = 481 К; плотность газа до расширения: ρ₁ = m/V₁; ρ₁ = = 1,16 кг/м³; плотность газа после расширения: ρ₂ = m/V₂; ρ₂ = = 0,7 кг/м³. Ответ: 6,02∙10^-3 м^-3 ; 481 К; 1,16 кг/м³; 0,7 кг/м³.

5.2. Определите скорости молекул азота (N₂) при 27 ^оС: 1) наиболее вероятную υ_в; 2) среднюю арифметическую ‹υ›; 3) среднюю квадратичную ‹υ_кв›.

Дано: М = 28∙10³ кг/моль; t = 27 ^оС . υ_в -? ‹υ› -? ‹υ_кв›- ?

РЕШЕНИЕ

1) наиболее вероятная скорость молекул: υ_{в =} ; R – газовая постоянная; Т – абсолютная температура: Т = 273 + 27 = 300 К. М – молярная масса. υ_{в =} = 422 м/с.

2) средняя арифметическая скорость: ‹υ› = ; ‹υ› = = 476 м/с.

3) средняя квадратичная скорость: ‹υ_кв› = ; ‹υ_кв› = = 517 м/с.

Ответ: 422 м/с; 476 м/с; 517 м/с.

5.3. Определите среднюю длину свободного пробега ‹ℓ› молекул кислорода, находящегося при температуре 0 ^оС, если среднее число ‹z› столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7∙10⁹.

Дано: ‹z› = 3,7∙10⁹ с^-1; t = 0 ^oC.

‹ℓ› -?

РЕШЕНИЕ

Средняя длина свободного пробега ‹ℓ› молекул за 1 с определяется как отношение средней арифметической скорости ‹υ› молекулы к числу столкновений молекулы ‹z›: ‹ℓ› = ‹υ›/‹z›; ‹υ› = ; Т – абсолютная температура (Т = 273 К); М – молярная масса кислорода (32∙10^-3 кг/моль); R- газовая постоянная. Подставим: ‹ℓ› = ∙ ; ‹ℓ› = ∙ = 115∙10^-9 м.

Ответ: 115∙10^-9 м.

5.4. Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлением 0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определите: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газу.

Дано: m = 32 г = 32∙10^-3 кг; р₁ = 0,1 МПа = 10⁵ Па; T₁ = 290 K; р₂ = 4р₁.

V -? T₂ -? Q -? РЕШЕНИЕ

1) объем газа определим из уравнений Менделеева – Клапейрона: р₁V = (m/M)RT₁; V = ; V = = 2,41∙10^-2 м³. М – молярная масса кислорода; R- газовая постоянная; Т₁ – начальная температура; р₁ – начальное давление.

2) температуру газа Т₂ после нагревания определим из закона Шарля: р₁/Т₁ = р₂/Т₂; Т₂ = р₂Т₁/р₁; Т₂ = 4∙T₁; T₂ = 4∙290 = 1160 K.

3) количество теплоты, сообщенное газу: Q = C_V∙(m/M)∙(T₂ – T₁); C_V = iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; i = 5 – число степеней свободы молекулы. Q = R(T₂ – T₁) = Q = 3 RT₁; Q = = 18,1∙10³ Дж.

Ответ: 2,41∙10^-2 м³; 1160 К; 18,1∙10³ Дж.

5.5. Азот массой 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении р = 1 МПа. Определите: 1) работу расширения; 2) конечный объем V₂ газа, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж, а начальная температура азота Т₁ = 290 К.

Дано: М = 28∙10^-3 кг/моль; m = 280 г = 0,28 кг; р = 1 МПа = 10⁶ Па; Q = 5 кДж = 5∙10³ Дж;; Т₁ = 290 К.

А -? V₂ -?

РЕШЕНИЕ 1) работа А при расширении газа и затраченная теплота Q при изобарном процессе определяются по формулам: A = (m/M)R(T₂ – T₁); Q = (m/M)C_p(T₂ – T₁). Разделим: A/Q = R/C_p; R – газовая постоянная; молярная теплоемкость при постоянном давлении: С_р = ; i = 5 – число степеней свободы молекулы. Подставим: А = = ; А = = 1,43 ³ Дж. 2) из уравнения Менделеева – Клапейрона определим объем V₁ до расширения азота: рV₁ = (m/M)RT₁; V₁ = RT₁; подставим объем V₁ в формулу работы газа и найдем конечный объем V₂. A = p(V₂ – V₁); V₂ = A/p + V₁ = (1/p)(A + mRT₁/M); V₂ = (1/10⁶)(1,43∙10³ + ) = 0,026 м³. Ответ: 1,43 ³ Дж; 0,026 м³.

5.6. Азот массой 14 г сжимают изотермически при температуре Т = 300 К от давления р₁ = 100 кПа до давления р₂ = 500 кПа. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты.

Дано: М = 28∙10^-3 кг/моль; m = 14 г = 0,014 кг; T = 300 K; р₁= 100 кПа = 10⁵ Па; р₂ = 500 кПа =5∙10⁵ Па.

ΔU -? A -? Q -?

РЕШЕНИЕ

Процесс изотермический поэтому изменение внутренней энергии ΔU = 0. Работа при изотермическом процессе: А = (m/M)RT∙ℓn(p₁/p₂); М – молярная масса. A = (0.28/0.028)∙8,31∙300∙ℓn(10⁵/5∙10⁵) = -2,01∙10³ Дж. Из первого начала термодинамики Q = ΔU + A, видно, что количество выделившейся теплоты Q равно работе A сжатия: Q = A = 2,01∙10³ Дж. Ответ: 0; -2,01∙10³ Дж; 2,01∙10³ Дж.