МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено

на заседании кафедры физики

08 февраля 2012 г.

Методические указания

к практическим занятиям

«Механические колебания и волны»

Методические указания для всех специальностей и

для всех профилей всех направлений бакалавриата

очной и заочной форм обучения

Ростов-на-Дону

2012

УДК 531.383

Методические указания к практическим занятиям «Механические колебания и волны». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2012. – 8 с.

Методические указания содержат краткую теорию по механическим колебаниям и волнам, в качестве пояснений к решению серии задач данного раздела физики.

Предназначены для проведения практического занятия «Механические колебания и волны» по программе курса физики для студентов всех специальностей и всех профилей всех направлений бакалавриата очной и заочной форм обучения.

УДК 531.383

Составитель доц. И.Н. Мощенко

Рецензент доц. Ю.И. Гольцов

Редактор н.Е. Гладких

Темплан 2012 г., поз. ___

Подписано в печать ____). Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л 0,5. Тираж 100 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета.

334022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2012

Механические колебания

Рекомендуется изучить §§ 140-142 учебного пособия Т.И. Трофимова "Курс физики". — М.: Высш. шк., 2001.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Гармоническими называют колебания, совершающиеся во времени по закону синуса (косинуса).

S = A cos(₀ t+₀), (1)

Здесь A- амплитуда колебаний, ₀ - циклическая частота, ₀ - начальная фаза колебаний, =(₀ t+₀) - фаза колебаний в момент времени t. Циклическая частота связана с обычной частотой f (число колебаний в секунду) и периодом колебаний T (минимальный промежуток времени, за который величина S возвращается к исходному значению) следующими соотношениями:

₀ = 2πf = 2π/T.

Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющей­ся величины s:

dS/dt = -A₀ sin(₀ t+₀), (2)

d² S/dt² = -A₀ ² cos(₀ t+₀), (3)

Из последнего выражения следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

d² S/dt² + ₀ ² S = 0, (4)

Решением этого уравнения является выражение (1).

При гармонических колебаниях сохраняется полная энергия E , являющаяся суммой кинетической E_k и потенциальной E_p энергий. При этом E_k и E_p сами изменяются по гармоническому закону, с удвоенной частотой и сдвинутыми друг относительно друга на четверть периода исходных колебаний:

E_k = E_kmax sin² (₀ t+₀), E_p = E_pmax cos² (₀ t+₀),

где E_kmax и E_pmax – максимальные значения кинетической и потенциальной энергии и E_kmax = E_pmax. Отсюда вытекает соотношение:

E = E_k + E_p= E_kmax = E_pmax .

В случае механических колебаний, колеблющейся величиной S является смещение x либо угол отклонения α от положения равновесия. При этом соотношения (2) и (3) дают закон изменения скорости (угловой скорости) и ускорения (углового ускорения) соответственно.

Частными случаями механических колебаний являются колебания пружинного, физического и математического маятников.

Пружинный маятник представляет собой невесомую пружину жесткостью k, соединенную с грузом массой m (груз считается материальной точкой, трением пренебрегается). По гармоническому закону изменяется отклонение груза от положения равновесия x. Т.е. S≡x и справедливы все вышеуказанные формулы. При этом период колебаний T, амплитуды кинетической E_kmax и потенциальной E_pmax определяются жесткостью пружины k , массой груза m и амплитудой колебаний A:

T=2π(m/k)^1/2, E_kmax=mv_max²/2=mA²²/2, E_pmax=kA²/2. (5)

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела. По гармоническому закону изменяется угол отклонения тела от положения равновесия α. Т.е. S≡ α и справедливы все вышеуказанные формулы. При этом период колебаний T, амплитуды кинетической E_kmax и потенциальной E_pmax определяются расстоянием между точками О и С, ускорением свободного падения g и моментом инерции тела J₀ относительно оси, проходящей через точку подве­са О:

T=2π(J₀/mgl)^1/2, E_kmax=mv_max²/2= J₀A²²/2, E_pmax=mgh, (6)

где h – максимальная высота подъема центра масс относительно положения равновесия.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длины l, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Момент инерции маятника J₀=ml² и параметры колебаний получаются из (6) подстановкой этого выражения.