Пряма пропорційність

Якщо t – час руху пішохода (в годинах), s – пройдений ним шлях (в кілометрах) і він рухається рівномірно зі швидкістю 4км/год, то кожному значенню t відповідає єдине значення s, отримане по формулі s=4t. Потім формула s=4 t задає функцію.

Розглянемо ще один приклад. Якщо ціна одного пакета молока 16к., то ціна у (в копійках) х пакетів може бути підрахована так: у=16х. Так як кожному значенню х відповідає єдине значення у, то формула у=16х задає функцію.

В наведених прикладах ми маємо справу з функцією, яку називають прямою пропорційною.

Прямою пропорційністю називається функція, яку може бути задана за допомогою формули виду у=kх, де х – незалежна змінні, а k – не рівне нулю дійсне число.

Число k у формулі у=kх називають коефіцієнтом пропорційності; а про змінну говорять, що вона пропорційна змінній х.

Областю визначення функції у=kх являється множина дійсних чисел.

Пряма пропорційність – частковий випадок лінійної функції у=kх+b, отримане при b=0. Тому:

1) графіком прямої пропорційності являється пряма прохідна через початок координат;

2) k>0 функція у=kх зростає на всій області визначення, а при k<0 спадає.

Наприклад, пряма пропорційність у=2х являється функцією, зростаючою на множині дійсних чисел: якщо значення х зростають, то зростають і значення функції (мал. 149). Функція у=-3х спадаюча на множині дійсних чисел: якщо значення х зростають, то значення функції зменшується (мал. 150).

Якщо функція f – пряма пропорційність і (х₁, у₁), (х₂, у₂) – пари належних значень х і у, причому х₂≠0, то . Іншими словами, якщо у= kх, то відношення двох значень змінної х рівне відношенню належних значень у.

Дійсно, якщо f – пряма пропорційність, то вона може бути задана формулою у= kх, і тоді для двох різних значень х₁ і х₂ маємо, що у₁= kх₁ і у₂= kх₂. Так як х₂≠0 і k≠0, то у₂≠0, то .

Якщо значення змінних х і у є додатні числа, то доведення значення прямої і пропорційності можна сформулювати так:

Із збільшенням (зменшенням) змінної х в декілька раз відповідне значення змінної у збільшується (зменшується) в стільки ж раз.

Пряма пропорційність в початкових класах спеціально не вивчається, але при рішенні текстових задач студенти зустрічаються з різними залежностями між величинами, в тому числі і з прямою пропорційністю. Наведемо приклади таких задач:

1.Метр полотна коштує 4 грн. Скільки коштують 2м полотна?3м?5м? 8м?

В цій задачі розглядається залежність ціни від якості купленого полотна, ціна 1м полотна постійна. Так як ця залежність може бути виражена формулою у=4х, де х – число метрів купленого полотна, а у – його ціна, тоді маємо пряму пропорційність. Коефіцієнт пропорційності 4 заданий в умові задачі, також як і значення, яке приймає х.

2. Із куска тканини довжиною 24м в майстерні пошили 8 однакових костюмів. Скільки потрібно тканини на 20 таких костюмів?

В задачі розглядається залежність витрати тканини від кількості костюмів.

Ця залежність прямо пропорційна, тому може бути задана формулою у=3х, де 3 – кількість метрів тканини для одного костюма, х – число пошитих костюмів, у – кількість тканини, потраченої на ці костюми. Коефіцієнт пропорційності знаходять, знаючи відповідні значення змінних х і у: 24:8=3(м).

Вправи

1. Вкажіть серед наступних функцій, заданих табличним способом, прямі пропорційності:

1)

х	2	4	6	8	10
у	14	28	42	56	70

2)

х	2	4	6	8	10
у	4	16	36	64	100

3)

х	1	2	3	4	5
у	0,2	0,4	0,6	0,8	1

4)

х	1	2	3	4	5
у	-3	-	-9	-	-15

2. Побудуйте графіки функцій у=-2х і у=10х і покажіть, що перша із них спадаюча на множині дійсних чисел, а друга зростаюча на тій множині.

3. Обчисліть, яка залежність існує між величинами, даними в задачі і розв’яжіть задачу:

1) Місткість однієї банки 3л. Скільки потрібно банок, щоб розлити 6л фруктового соку? 9л? 12л? 15л?

2) За перший день магазин продав 8 однакових портфелів і отримав за них 32 грн. За другий день було продано 6 таких портфелів. Скільки грошей отримали за портфелі на другий день?

3) Із 24 кг молока виходить 3кг сливок, із 20кг сливок одержують 4кг масла, а із 12кг масла одержують 9кг топленого масла. Скільки кілограмів топленого масла можна отримати із 2400кг молока?

4. Сторони прямокутника 6см і хсм. Площа цього прямокутника усм². Запишіть формулу, яка виражає залежність площі цього прямокутника від довжини сторони. Побудуйте графік цієї залежності при умові, що х 8.

5. Маса одного олівця дорівнює 1,5г. Позначте масу х олівців через у (в г) і побудуйте графік одержаної залежності при умові, що х 4.