2. Порівняння чисел за їх записом в десятковій системі числення

Нам відомо декілька способів порівняння натуральних чисел, десятковий запис натуральних чисел дає ще один спосіб. Якщо числа a i b – натуральні числа, які записані в десятковій системі числення, тобто

a = a_n10ⁿ + a_n-110 ^n-1 + …+ a₂10² + a₁.10 + a₀,

b = b_m10ⁿ + b_m-110 ^n-1 + …+ b₂10² + b₁.10 + b₀,

то число а менше за число b, якщо виконується одна з умов:

1. n < m (число розрядів у запису числа a менше, ніж в записі числа b);

2. n = m, але a_n < b_m;

3. n = m, a_n = b_m, …, a_k = b_k, але a _k-1<b _k-1.

Розглянемо приклад 3 456 < 12 349, тому, що в записі числа 3 456 цифр менше, ніж в записі числа 12 349. 3 456 < 4 579, так як при однаковій кількості цифр в записі чисел цифра старшого розряду в числі 3 456 менше, ніж цифра того ж розряду в числі 4 579. 3 456 < 3 476, так як при однаковій кількості цифр в записі чисел і однакових цифрах, які позначають тисячі і сотні, цифра десятків у числі 3 456 менша ніж цифра того ж розряду в числі 3 476.

3. Алгоритм додавання в десятковій системі числення

Якщо числа а і b одноцифрові, то для обчислення суми цих чисел досить порахувати число елементів двох множин, які не перетинаються і які мають відповідно а і b число елементів. Усі можливі суми, які дістають при додаванні одноцифрових чисел, утворюють таблицю додавання одноцифрових чисел, її запам'ятовують і щоразу використовують при додаванні таких чисел.

При додаванні багатоцифрових чисел використовують правило додавання одноцифрових чисел. Такі числа подають (або уявляють) у вигляді сум степенів числа 10 з коефіцієнтами, якими є цифри даних чисел. Наприклад, 1917 + 1991 = (1  10³ + 9  10² + 1  10 + 7) + (1  10³ + 9  10² + 9  10 + 1). Згрупуємо коефіцієнти відносно однакових степенів числа 10 і додамо їх, згідно з таблицею додавання одноцифрових чисел. Якщо сума коефіцієнтів менша від 10, то записують її в тому ж розряді; якщо сума більша від 10, то число її одиниць записують у тому ж розряді, а число десятків додають до вищого розряду. Так, 1917 + 1991 = (1 + 1)  10³ + (9 + 9)  10² + (1 + 9)  10 + (7 + 1) = 3908. Для того щоб відповідні одиниці розрядів відразу згрупувати, треба числа записати стовпцем і виконати додавання цифр відповідних розрядів:

+ 1917

1991

3908

У загальному вигляді алгоритм додавання багатоцифрових чисел, записаних у десятковій системі числення, такий:

• другий доданок записують під першим так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним;

• додають цифри розряду одиниць; якщо сума менша ніж 10, її записують у розряд одиниць результату і переходять до додавання цифр наступного розряду;

• якщо сума цифр одиниць більша або дорівнює 10, то число її одиниць записують у розряд одиниць результату і додають одиницю до цифри десятків першого доданку, після чого переходять до додаван­ня в розряді десятків;

• аналогічні дії повторюють відносно десятків чисел, потім сотень і т. д.