7.4. Методология сетей Петри

Одной из нотаций графического моделирования бизнес-процессов является нотация сетей Петри. Впервые сети Петри для моделирования систем и их анализа предложил немецкий математик Карл Адам Петри в своей докторской диссертации "Связь автоматов" в 1962 году. Теоретические положения организации сетей Петри используют теорию графов, орграфов, инциденций. Применение графовой теории позволяет моделировать параллельно протекающие взаимосвязанные события в сложной динамической системе. Например, социальные и экономические процессы, программное и аппаратное обеспечение задачи и т.д. Таким образом, целесообразно применение нотации сетей Петри при имитационном моделировании параллельного инжиниринга ресурсов корпорации [18].

Сеть Петри представляет собой двудольный орграф. Целесообразно применять нотацию сетей Петри для моделирования процессов и функционирования сети, этапы которых связаны между собой причинно-следственной связью.

Представление системы сетью Петри базируется на двух понятиях: событиях и условиях. Событие представляется некоторым действием, имеющим место в системе. Появление события определяет состояние системы, которое может быть описано множеством условий. Условие - это предикат или логическое описание состояния системы. При этом условие может принимать либо значение "истина", либо значение "ложь".

Для того, чтобы событие произошло, необходимо выполнение соответствующих условий, которые называются предусловиями события. Возникновение события может привести к появлению постусловий.

Одной из особенностей сетей Петри и их моделей является параллелизм или одновременность. В модели сети Петри два разрешенных взаимодействующих события могут происходить независимо друг от друга, но при необходимости их легко синхронизировать. Т.о. сети Петри представляются идеальными для моделирования систем с распределенным управлением, в которых несколько процессов выполняются одновременно.

Другая важная особенность сетей Петри - их асинхронная природа. В сети Петри отсутствует измерение времени или течение времени. Структура сетей такова, что содержит в себе информацию для определения возможных последовательностей событий. В этих моделях нет никакой информации, связанной с количеством времени, необходимым для выполнения событий.

Сеть Петри рассматривается как последовательность дискретных событий. Запуск события на выполнение рассматривается как мгновенное событие, занимающее нулевое время, поэтому одновременное возникновение двух событий невозможно. Моделируемое таким образом событие называется примитивным, примитивные события мгновенны и неодновременны.

Непримитивными называются события, длительность которых отлична от нуля. Непримитивное событие может быть представлено в виде двух примитивных: "начало непримитивного события", "конец непримитивного события" и условия, когда «непримитивное» событие происходит".

В сети Петри условия моделируются позициями, события - переходами. При этом входы перехода являются предусловиями соответствующего события, выходы - постусловиями. Возникновение события равносильно запуску соответствующего перехода. Выполнение условия представляется фишкой (маркером) в позиции, соответствующей этому условию. Запуск перехода удаляет разрешающие маркеры, представляющие выполнение предусловий и образует новые маркеры, которые представляют выполнение постусловий.

К основным свойствам сетей Петри относятся следующие утверждения:

1.) Вершины графа приписывают либо «позициям», либо «переходам». Понятие инциденции аналогично инциденции в теории графов: отношение входящих и выходящих дуг (переходов – отрезков прямой). Дуги имеют направление. Позиции обозначаются окружностями.

2.) Сеть Петри состоит из позиций и переходов.

3.) Позиции и переходы связываются ориентированными дугами, которые могут передавать метки (фишки).

Фишка – натуральное число, записанное рядом с позицией, определяет разметку сети.

4.) Количество меток, которое устанавливается в позиции, определяется весом дуги.

5.) Метка может находиться только в позициях, т.к. они интерпретируют состояния системы.

6.) Количество меток, которое содержится в позиции, называется маркировкой.

7.) Различают входные позиции - те позиции, из которых исходят дуги, входящие в данный переход и выходные позиции - позиции, в которые входят дуги, исходящие из данного перехода

7.) Предусловие означает, что количество меток во входной позиции должно быть не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию и переход.

8.) Постусловие означает, что выходная позиция может забрать такое количество меток, которое должно быть не меньше веса дуги, соединяющей переход и эту позицию.

9.) Когда все предусловия и постусловия выполнены, тогда и только тогда этот переход может сработать (метки от входных позиций перемещаются в выходные позиции).

10.)События характеризуют изменение состояний системы и определяются запуском переходов.

11.) Условием срабатывания перехода является обеспечение такого количества фишек в каждой входной позиции перехода, которое не меньше количества дуг, соединяющих эту позицию с переходом.

12.) Срабатывание перехода состоит в изъятии фишек из каждой входной позиции и помещении их в каждую выходную позицию. Причем, количество фишек, изымаемых из конкретной позиции, или помещаемых в конкретную позицию равно количеству дуг, соединяющих срабатывающий переход с данной конкретной позицией.

Построение моделей систем в виде сетей Петри связано со следующими обстоятельствами:

1. Моделируемые процессы (явления) совершаются в системе, описываемой множеством событий и условий, которые эти события определяют, а также причинно - следственными отношениями, устанавливаемыми на множестве "события - условия".

2. Определяются события - действия, последовательность наступления которых управ­ляется состоянием системы. Состояния системы задаются множеством условий. Условия формулируются в виде предикатов. Количественные условия характеризуются емкостью. Емкость условий выражается числами натурального ряда.

3. Условия (предикаты) могут быть выполнены или не выполнены. Только выполнение условий обеспечивает возможность наступления событий (предусловия).

4. После наступления события обеспечивается выполнение других условий, находящихся с предусловиями в причинно-следственной связи (постусловия). После того, как событие имело место, реализуются постусловия, которые в свою очередь являются предусловиями следующего события и т.д.

Примеры сети приведены на рис. 7.27 и 7.28.

Рис. 7.27. Сети Петри

Рис. 7.28. Сеть с разметкой.

Например, на рис. 7.28 для перехода t1 входная позиция p1, выходная – p3.

Например, переход t1 на рис. 7.28 при срабатывании изымает из позиции p1 одну фишку и увеличивает количество фишек в позиции p3 на одну.

Переход t2 изымает одну фишку из позиции p1 и помещает в позицию p2 две фишки.

Например, на рис. 7.28 переход t3 не может сработать, так как в позиции p3 находится только одна фишка, а дуг, связывающих p3 и t3 – две.

Одна из основных проблем в теории сетей Петри– задача о конечности функционирования сети (о достижении тупиковой разметки).

Под ограниченностью понимают свойство сети не допускать превышения количества фишек в конкретной или произвольной позиции некоторого фиксированного числа.

Если ни в одной позиции сети при любой последовательности срабатываний переходов количество фишек не превышает некоторого K, то такую сеть  называют K-ограниченной.

Формальное описание сети Петри

В [ ] показано, что простой сетью Петри называется набор , где

1. - множество мест;

2. - множество переходов таких, что .

3. - отношение инцидентности

Маркировка  есть присвоение фишек позициям сети Петри.

Инцидентности (смежность) - отношение между ребром (дугой) и его концевыми вершинами, т.е. ребро инцидентно вершинам a и b и вершины инцидентны ребру 

Цветные сети Петри.

Для многих задач моделирования необходимо различать разные типы информации и существенные потоки, которые встречаются в системе. Надо чтоб однородные метки одного потока отличались от однородных меток другого потока. Это расширение стандарта сети Петри названо окрашенная или цветная сеть Петри. Как только к узлам сети добавлена информация, простая сеть превращается в окрашенную – цветную.

Фишки вместо простого обозначения содержимого позиции преобразуются в объект, который может содержать в себе один или более параметров, каждый из которых может принимать дискретный набор значений.

К позициям добавляется информация о типах фишек, которые могут находиться в данной позиции.

К дугам, исходящим из позиций, добавляется информация о типах фишек, которые могут участвовать в переходах, инцидентных этим дугам.

К переходам может быть добавлена информация по бизнес-правилам - условием перехода, в зависимости от переменных, содержащихся в фишках.

К начальной маркировке сети добавляется информация о значении переменных, содержащихся в фишках.

Пример цветной сети Петри приведен на Рис. 7.29 [83].

Рис. 7.29: Пример цветной сети Петри