Оцінка похибки інтерполяції
Згідно з (2.8) різниця між функцією та її інтерполяційним поліномом може бути подана у наступному вигляді:
.
(2.11)
Треба звернути увагу, що для
визначення розділеної різниці у правій
частині використовується вузол
і таким чином вона є функцією від
.
Розглянемо функцію
,
де
-
константа. Нехай похибка оцінюється
при
і
.
Тоді:
,
(2.12)
а за теоремою Роля:
у
точці,
у
точках,
у
точці,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
у
точці, яку позначимо
при
чому
.
Звідси, диференціюючи (2.11) отримаємо
і
.
Зважаючи на (2.12)
,
(2.13)
де залежить від .
Співвідношення (2.13) дає мажоритарну оцінку похибки інтерполяції:
,
де
(2.14)
Порівнюючи (2.11) і (2.13) можна побачити, що
.
Таким чином коефіцієнт
у (2.14) можна оцінити по значеннях
розділених різниць:
.
Інтерполяція по рівновіддалених вузлах.
В випадку
рівномірної сітки вузлів:
,
де
- крок між вузловими значеннями аргументу,
а
,інтерполяційні
формули спрощуються. Так, замінюючи у
формулі Лагранжа
,
,
де
,
(2.15)
після очевидних скорочень отримаємо її вигляд для рівновіддалених вузлів:
.
(2.16)
В інтерполяційній формулі Ньютона для рівновіддалених вузлів замість розділених різниць використовуються скінчені різниці.
Скінчені різниці.
Нехай
знову
- вузлові значення функції на рівномірній
сітці вузлів. Скінчені різниці першого
порядку у
-ому
вузлі визначаються наступним чином:
-скінчена
різниця уперед;
-скінчена
різниця назад;
(2.17)
-
центральна скінчена різниця.
Як видно, скінчена різниця першого порядку є різниця між значеннями функції у двох послідовних вузлах і в залежності від виду відноситься до вузла з меншим номером (уперед), більшим номером (назад), чи до середини інтервалу між вузлами (центральна), тобто:
Скінчені різниці вищого порядку у -ому вузлі визначаються через різниці попереднього порядку наступним чином:
;
;
(2.18)
;
.
Очевидно, що у вираз для обчислення значення різниці будуть входити значення функції у вузлах, кількість і розташування яких залежать від виду і порядку різниці.
,
(2.19)
де
біноміальні коефіцієнти.
Для
=2
і
=3:
;
(2.20)
.
Якщо порівняти відповідні вирази для скінчених (2.7) і розділених різниць (2.18) при рівновіддалених вузлах, можна з’ясувати, що:
.
(2.21)
Інтерполяційний поліном НЬЮТОНА для рівновіддалених вузлів
Підставляючи у формулу Ньютона для довільного розташування вузлів (2.9) залежності (2.15) для рівновіддалених вузлів і відповідне подання розділених різниць скінченими (2.21). отримаємо:
.
(2.22)
Цю
формулу з зрозумілих причин звуть
інтерполяційною
формулою Ньютона для інтерполювання
уперед.
Аналогічно, при використанні відповідної
послідовності вузлів (
),
отримаємо звуть інтерполяційну
формулу Ньютона для інтерполювання
назад:
.
(2.23)