7.9. Дифференциальные операторы первого порядка

Свертывая набла-вектор различными способами с тензором, определяют различные дифференциальные операторы первого порядка, не зависящие от выбора системы координат. Последнее свойство делает эти операторы удобными в применении в физике и механике сплошной среды.

7.9.1. Градиент тензора

Рассмотрим сначала скалярное поле , где j — непрерывно дифференцируемая функция 3 переменных. Тогда, с использованием (7.26), дифференциал этой функции преобразуется к виду

. (7.47)

Выражение в скобках (7.47) по теореме об обратном тензорном признаке есть линейная форма (вектор). Этот вектор называется градиентом скаляра и обозначается

, (7.48)

где использован введенный ранее набла-оператор Ñ. Градиент скаляра можно трактовать как тензорное произведение вектора Ñ и скаляра j.

Для векторного поля рассуждения аналогичны. Пусть — векторное поле, тогда

. (7.49)

По теореме об обратном тензорном признаке выражения в скобках (7.49) есть тензоры II ранга, которые обозначаются соответственно

и (7.50)

и называются транспонированным градиентом вектора и градиентом вектора. Запись градиента вектора с использованием набла-оператора можно трактовать как тензорное произведение векторов Ñ и t, а транспонированного градиента вектора — как тензорное произведение векторов t и Ñ. Следует обратить внимание на то, что в символической записи дифференциальный оператор действует на стоящий перед ним объект (вектор), а все различие между и сводится только к последовательности следования базисных векторов (см. внимательнее (7.50)).

Производная векторного поля по криволинейной координате может быть представлена через ковариантные производные контравариантных и ковариантных компонент вектора

.

Тогда

(7.51)

. (7.51¢)

То есть, ковариантные производные контравариантных и ковариантных компонент являются соответственно смешанными и ковариантными компонентами тензора II ранга — градиента вектора.

Введем формально операцию контравариантного дифференцирования

.

Тогда могут быть определены остальные контравариантные и смешанные компоненты тензоров и

,

.

Градиент тензорного поля определяется как тензорное произведение набла-вектора на тензор

.

Соответственно градиент тензора ранга p есть тензор ранга p + 1. С использованием операции ковариантного дифференцирования градиент тензора может быть представлен

Можно рассмотреть транспозиции градиента тензора по первому и (s+1)-му индексам ( ) в полиадной записи

.

Определим понятие производной по направлению. Для скалярного поля производная по направлению единичного вектора n определяется как

.

Для векторного поля

и для поля тензора

.

С помощью производной по направлению можно указать геометрический смысл градиента скалярного поля : указывает направление наиболее быстрого возрастания скаляра j из данной точки

.

Записывая согласно (7.51) в компонентах диадного базиса a_ia_k декартовой ортонормированной системы координат, получим

.

Умножая скалярно или векторно пару первых базисных векторов градиента тензора, мы получим новые дифференциальные операции.

7.9.2. Дивергенция тензора

Дивергенцией тензорного поля называется тензор ранга p - 1, который определяется как скалярное произведение оператора Гамильтона на данный тензор

. (7.52)

С использованием операции ковариантного дифференцирования дивергенцию можно записать как

.

Для векторного поля

(7.53)

Понятие дивергенции скаляра лишено смысла.

Исследуем физический и геометрический смысл дивергенции вектора.

Для поля скоростей в некоторой области пространства AE₃, занимаемой сплошным деформируемым телом, divv характеризует скорость относительного изменения бесконечно малого объема движущейся среды. В декартовой ортогональной системе координат

.

Помещая начало координат в рассматриваемую точку и принимая в этой точке v = 0, будем иметь

,

где V есть объем параллелепипеда со сторонами x₁, x₂, x₃. То есть, условие несжимаемости (или постоянства объема) среды в точке может быть записано как

.

Более строго: дивергенция векторного поля есть отношение потока вектора через поверхность бесконечно малого объема к величине этого объема, то есть

(n — внешняя нормаль к поверхности, S — площадь, V — объем области).

Записывая согласно (7.53) в компонентах базиса декартовой ортонормированной системы координат, получим

7.9.3. Ротор тензора

Ротором (вихрем) тензорного поля называется тензорное поле того же ранга, определяемое векторным произведением оператора Гамильтона на данный тензор

. (7.54)

Для скалярного поля эта операция не определена. Для векторного поля

(7.55)

Если представить диаду разложением (2.16)-(2.17)

, (7.56)

то

, (7.57)

где t — ассоциированный вектор (3.23).

Полученная формула позволяет выявить физический смысл ротора векторного поля. Для поля вектора скорости компоненты разложения (7.56)

называются соответственно тензором деформации скорости, , и тензором вихря, . Вектор , вихрь вектора скорости, — есть угловая скорость квазитвердого вращения частицы сплошной среды в данной точке пространства.

Можно показать, что проекция ротора векторного поля t на любое направление n равно отношению циркуляции поля по бесконечно малому контуру, перпендикулярному n, к площади, охватываемой этим контуром,

. (7.58)

Для вращательного движения абсолютно твердого тела с угловой скоростью справедлива формула Эйлера

(v — скорость материальной точки тела с радиусом-вектором x). Используя ее в (7.58) для вращения вокруг оси Oz, получаем

,

где . Итак, в данном примере модуль ротора поля скоростей абсолютно твердого тела равен удвоенному модулю его угловой скорости.

Записывая согласно (7.55) в компонентах декартовой ортонормированной системы координат, получим

. (7.59)