7.5. Аффинное евклидово пространство

Будем полагать, что в введена какая-либо декартова система координат. Тогда согласно (7.15) векторы локального базиса в каждой точке M Î совпадают с реперными векторами выбранной декартовой системы координат . Сопоставим данному общему для всего базису произвольную фундаментальную (положительно определенную) матрицу . Этим фактически определяется однородное в поле тензора I. Аффинное пространство с однородным полем единичного тензора называется аффинным евклидовым пространством и обозначается .

Если в M Í определена какая-либо криволинейная система координат (7.11), то компоненты фундаментальной матрицы локального базиса e_i какой-либо точки запишутся как

, (7.22)

откуда видно, что фундаментальные матрицы локальных базисов различных точек различаются. Если реперным векторам в сопоставлена фундаментальная матрица , то

. (7.23)

С помощью матрицы, обратной фундаментальной, [g^ij], можно ввести векторы взаимного (сопряженного) базиса в данной точке

. (7.24)

Исследуем метрические свойства евклидова точечного пространства.

Рассмотрим в бесконечно малое приращение dx вектора x, соответствующее паре точек : dx =  при M¢® M (характер стремления, например, покоординатный). Если в введена некоторая криволинейная система координат , то, используя формулу полного дифференциала, можно записать

, (7.25)

тогда скалярный квадрат

.

Из положительной определенности матрицы следует, что в любой точке

.

Последнее называют квадратом длины элемента дуги кривой, проходящей через точки M и M¢. Если в параметрически задана гладкая кривая x = x(t), то длина дуги этой кривой может быть найдена по формуле

.

Угол между двумя линейными малыми элементами dx₁ и dx₂ в данной точке M определяется как

.

Если в качестве криволинейной системы координат принять декартову ортонормированную, то

и данную функцию называют пифагоровой формой.

Из (7.25) следует формула

, (7.26)

представляющая собой формулу Гиббса для малого вектора dx в точке.

7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. Физические компоненты тензора

Криволинейная система координат в называется ортогональной, если в любой точке векторы локального базиса удовлетворяют условиям

, (7.27)

что эквивалентно условиям

(7.28)

Таким образом, для ортогональной системы координат матрицы ковариантных и контравариантных компонент метрического тензора в любой точке являются диагональными (но не обязательно одинаковыми для различных точек).

Диагональные элементы матриц часто записывают с помощью коэффициентов Ламе,

, . (7.29)

Из условия взаимной обратности диагональных матриц

. (7.30)

Примерами ортогональных криволинейных систем координат являются рассмотренные ранее цилиндрическая и сферическая системы координат, а также декартова ортогональная (декартова с попарно ортогональными координатными линиями). В п. 7.3 мы ссылались на декартовы ортонормированные системы координат с ортонормированными реперными векторами.

В случае произвольной криволинейной (не декартовой) системы координат, в частности, ортогональной, различные векторы локального базиса в точке могут иметь различную физическую размерность

,

то есть физическая размерность вектора зависит от физической размерности соответствующей координаты . Например, для цилиндрической системы координат координата имеет размерность длины, а соответствующий базисный вектор (реперные векторы а_i ортонормированы) — безразмерен; координата безразмерна, а имеет размерность длины. Следовательно, при разложении значения тензорного поля в точке по локальному базису различные компоненты тензора могут иметь различную физическую размерность. В приложениях это часто бывает неудобно. В этом случае для ортогональной криволинейной системы координат вводят безразмерный базис

. (7.31)

Компоненты тензора в базисе, построенном из векторов l_i, называют физическими компонентами тензора.

Найдем связь физических и контравариантных компонент тензора второго ранга

(7.32)

Аналогично,

(7.32¢)

Если рассмотреть замену одной ортогональной криволинейной системы координат на другую, то для компонент векторного поля в локальном базисе точки будут справедливы обычные формулы преобразования компонент вектора (1.8)-(1.34), где матрицы и определяются в каждой точке выражениями (7.17). Однако физические компоненты тензора при таких заменах координат не будут подчиняться данному закону преобразования, в чем предлагается убедиться самостоятельно.