- •7. Тензорный анализ
- •7.1. Аффинное пространство
- •7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве
- •7.3. Криволинейные системы координат в аффинном пространстве
- •7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис
- •7.5. Аффинное евклидово пространство
- •7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. Физические компоненты тензора
- •7.7. Ковариантная производная векторного поля. Свойства символов Кристоффеля
- •7.8. Ковариантное дифференцирование тензорного поля
- •7.9. Дифференциальные операторы первого порядка
- •7.10. Дифференциальные операторы второго порядка
- •7.11. Тензор Римана-Кристоффеля
- •7.12. Интегральные теоремы
7. Тензорный анализ
7.1. Аффинное пространство
Аффинным (или точечным) пространством называется непустое множество, для элементов которого выполняются следующие аксиомы:
а) каждой упорядоченной паре элементов может быть поставлен в соответствие единственный вектор (n-мерного векторного пространства);
б) каждому элементу и вектору может быть поставлен в соответствие единственный элемент , такой, что ;
в) для любых трех элементов .
Элементы аффинного пространства называются точками.
Из данных аксиом следует, что если зафиксировать произвольную точку , то точки пространства и векторы пространства будут находиться во взаимно-однозначном соответствии, а точке будет соответствовать нулевой элемент пространства . В дальнейшем изложении будем рассматривать случай n = 3, чаще используемый в приложениях.
7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве
Выберем произвольные точку и базис . Совокупность { , } (короче (A, ai)) называется координатным репером в . Любой точке тогда можно сопоставить вектор пространства , компоненты этого вектора в базисе , называются декартовыми (или прямолинейными) координатами точки M. Вектор называют радиус-вектором точки M.
Зафиксировав какой-либо другой координатный репер (B, bi) в , можно поставить в соответствие той же самой точке другие декартовы координаты . Из аксиом а),в) аффинного пространства следует, что векторы (и им противоположные) принадлежат одному векторному пространству и . Раскладывая левую часть по базису bi, а правую — по базису , будем иметь . Раскладывая , окончательно получаем закон связи декартовых координат точки
, (7.1)
где матрица не вырождена по утверждению 1.1.
Матрица и вектор-столбец в (7.1), а значит и сам этот закон, не зависят от выбора точки , а зависят только от выбора пары координатных реперов (A, ai) и (B, bi). По этой причине далее мы будем называть координатный репер декартовой системой координат в . Преобразование (7.1) декартовых систем координат в называется аффинным. Рассмотрим множество всех аффинных преобразований.
Точка M в каком-либо третьем репере (C, ci) имеет координаты , связанные с законом
, (7.2)
где не вырождена. Обращая (7.1), получим
, (7.3)
где (очевидно, невырожденная), . Подставляя (7.3) в (7.2), получаем закон связи декартовых координат точки M при последовательном осуществлении двух аффинных преобразований
, (7.4)
где есть компоненты невырожденной матрицы, .
Видно, что (7.4) — также аффинное преобразование. Обратное преобразование (7.3) для любого аффинного преобразования (7.1) существует и также является аффинным. Тождественное преобразование является аффинным ( ). Справедливость ассоциативного закона для последовательного осуществления трех любых аффинных преобразований предлагается доказать читателю. Таким образом, множество всех преобразований декартовых систем координат пространства друг в друга представляет собой группу, называемую аффинной группой. Данное свойство делает любые декартовы системы координат в равноправными.
Определяемое фиксированной декартовой системой координат соответствие точек и упорядоченных троек чисел (элементов ) является взаимно-однозначным. Таким образом, произвольная точка представляется упорядоченной тройкой действительных чисел (отнесенной к некоторой декартовой системе координат) с законом преобразования (7.1) при замене декартовой системы координат. Сформулированное предложение составляет суть координатного определения аффинного пространства.