7.3. Криволинейные системы координат в аффинном пространстве

В аффинном пространстве могут быть определены системы координат более общего типа, чем декартовы. Чтобы отчетливее понять различие тех и других систем координат и, не отвлекаясь на второстепенные детали, исследовать групповые свойства введенных, мы привлечем к рассмотрению систему намного более общую, чем аффинное пространство, — элементарное многообразие.

Элементарное многообразие M есть некоторое множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с элементами каждого из открытых множеств (рис. 7.1) с точностью до допустимого преобразования элементов , любой пары множеств

, (7.5)

где допустимость функций (7.5) подразумевает их непрерывную дифференцируемость в области их определения

, (7.6)

и отличие от нуля якобиана преобразования в этой области

, . (7.7)

Рис. 7.1. Связь множеств

Данные условия необходимы и достаточны для взаимной однозначности и непрерывности множества допустимых преобразований (взаимно-однозначное непрерывное отображение называют гомеоморфизмом). Для другой допустимой тройки функций

, (7.8)

где , условия (7.6) и (7.7) гарантируют существование обратного преобразования

(7.9)

в области , являющегося непрерывно дифференцируемым и имеющего отличный от нуля якобиан в этой области. Подставив (7.9) в (7.5), получим

. (7.10)

Поскольку функции (7.9) и (7.5) — непрерывно дифференцируемы, то и (7.10) — также непрерывно дифференцируемые функции

и

, ,

то есть преобразование (7.10) — допустимое. Тождественное преобразование , очевидно, также допустимо. Несложно проверить и справедливость ассоциативного закона для трех последовательных допустимых преобразований. Следовательно, допустимые преобразования элементов M образуют группу.

Вернемся к аффинному пространству. Зафиксируем произвольную декартову систему координат в . Рассмотрим тройку функций, осуществляющих однозначное отображение точек области M Í  , представленных декартовыми координатами , на точки области D Í 

, (7.11)

удовлетворяющих условиям гомеоморфности, то есть непрерывной дифференцируемости и отличия якобиана преобразования от нуля. Набор функций (7.11) задает так называемую криволинейную систему координат в M Í  . Последняя делает возможным представить любую точку MÎ криволинейными координатами . Вслед за введением одной криволинейной системы координат на M Í  мы можем ввести и другие, связанные с первой допустимыми преобразованиями. Поэтому рассматриваемая область аффинного пространства вместе с криволинейными системами координат будет представлять собой по крайней мере элементарное многообразие, а преобразования криволинейных систем координат — образовывать группу по доказанному ранее. Групповые свойства множества всех криволинейных систем координат на области аффинного пространства делают эти системы равноправными.

Итак, более общее определение системы координат на открытом множестве M Í  подразумевает всякое гомеоморфное отображение этого множества в декартово трехмерное пространство . Декартова система координат является частным случаем системы координат в аффинном пространстве. Важность декартовых систем координат заключается в том, что все их множество можно ввести только в аффинном пространстве и нельзя ввести на элементарном многообразии^*. Невозможность введения декартовой системы координат в последнем не позволяет определить понятия прямой и плоскости, поэтому (7.5) и называют криволинейными координатами на многообразии M.

Выясним геометрический смысл криволинейных координат. Рассмотрим уравнение

(7.12)

при фиксированном i. Это уравнение определяет поверхность в . Изменение параметра порождает семейство непересекающихся поверхностей, так как их пересечение означало бы нарушение гомеоморфности отображения (7.11). Говорят, что (7.12) при Î задает семейство координатных поверхностей. Взяв другой индекс iÎ{1,2,3}, получаем согласно (7.12) другое семейство координатных поверхностей. Каждая пара координатных поверхностей разных семейств, пересекаясь, образует координатную линию данной системы координат. Уравнение координатной линии (например, j = 2), проходящей через точку M с координатами имеет вид

(7.13)

или, натянутое на реперные векторы,

. (7.13¢)

На рис. 7.2 показаны координатные поверхности и координатные линии, проходящие через точку MÎ .

Рис. 7.2. Координатные линии, проходящие через точку

Рассмотрим примеры систем координат в .

1. Цилиндрическая система координат в положительном октанте. Рассмотрим набор функций , заданных в положительном октанте  É M =  . Предлагается проверить, что данные функции задают систему координат в рассматриваемом подмножестве . Область изменения криволинейных координат ´ ´ .

Если декартова система координат ортонормированная (будет определена в п. 7.6), то записанный набор функций в M задает так называемую цилиндрическую систему координат (рис. 7.3а). В данном случае координатные поверхности представляют собой соответственно бесконечный круговой цилиндр радиуса , плоскость, параллельную образующей этого цилиндра и проходящей через его ось и точку M, и плоскость, перпендикулярную образующей цилиндра и проходящей через точку M. Координатными линиями будут окружность и пара прямых . Обратная связь координат запишется в виде .

Цилиндрической системой координат можно покрыть все за исключением оси r = 0, на которой не удовлетворяются условия допустимости (проверить).

Рис. 7.3. Цилиндрическая и сферическая системы координат

2. Пусть в положительном октанте задаются следующие функции: В декартовой ортонормированной системе координат записанные выражения определяют сферическую систему координат в положительном октанте (рис. 7.3б). Обратные соотношения имеют вид , а область изменения криволинейных координат ´ ´ .

Сферической системой координат можно покрыть все за исключением точки r = 0, в которой не удовлетворяются условия допустимости (проверить).

Целый класс систем координат (вообще говоря, ортогональных — см. п. 7.6) может быть введен при помощи аналитических функций комплексной переменной [12], включающий кроме уже рассмотренных цилиндрической (полярной цилиндрической) и сферической систем координат эллиптическую и биполярную цилиндрические, тороидальную системы координат. Использование тех или иных криволинейных систем координат определяется соображениями симметрии решаемой задачи.

В механике сплошной среды с целью записи закона движения деформируемой среды отождествляют координатные линии с некоторыми материальными линиями в начальный момент деформирования, а координатные линии — с их образами в текущий момент деформирования. Полагая, что пара систем координат, связанных с одними и теми же материальными частицами деформируемого сплошного тела в начальном и деформированном состоянии связаны гомеоморфным законом (7.8) (или обратным ему, (7.11)), с помощью данных законов можно ввести меры деформации малой окрестности любой материальной точки такой среды.