2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов

Зафиксируем два линейных нормированных пространства и и будем рассматривать всевозможные линейные непрерывные операторы А, В, … действующие из Х в Y. Определим сумму операторов и произведение операторов на число следующим образом: (А + В)х = Ах +Вх, (А)х = Ах. Это будут снова операторы, действующие из Х в Y, и легко видеть, что все необходимые свойства операций сложения и умножения на число имеют место. В частности, нулевым оператором будет оператор, определяемый равенством 0х = 0 для любого . Таким образом, совокупность всех операторов, действующих из Х в Y, есть линейное пространство. Более того, эта совокупность будет линейным нормированным пространством. В самом деле, для каждого оператора А определена норма этого оператора , являющаяся неотрицательным числом, и остаётся проверить лишь выполнение аксиом нормы.

1. Если А = 0, то для любого и потому .

Пусть, наоборот, . Тогда для любого , т. е. Ах = 0 для любого и . Первая аксиома нормы выполняется.

2. и вторая аксиома нормы тоже выполняется.

3. Подобным же образом проверяется выполнение третьей аксиомы нормы:

Итак, совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из X в Y, есть линейное нормированное пространство. Это пространство мы будем обозначать символом .

В частности, когда Y = R – множество вещественных (комплексных) чисел, это пространство называется пространством линейных непрерывных функционалов, определённых на X, или сопряжённым с X пространством, и обозначается X*.

Теорема 2. Если Y – полное пространство, то – пространство линейных ограниченных операторов будет также полным пространством и, следовательно, банаховым пространством.

Доказательство. Пусть и при , . Из обратного неравенства треугольника следует , т. е. есть сходящаяся и потому ограниченная числовая последовательность. Положим .

Возьмём любой элемент и рассмотрим последовательность . Эта последовательность фундаментальна, потому что

при , . Так как Y – полное пространство, то существует элемент , являющийся пределом этой последовательности: . Таким образом, каждому ставится в соответствие один определенный , и мы приходим к оператору , действующему из X в Y. Этот оператор линейный:

,

.

Этот оператор также ограничен:

.

Следовательно, A – линейный непрерывный оператор.

Покажем, что в смысле сходимости по норме в пространстве . Из неравенства , , , будет следовать

(7)

при , и для любого . Пусть . Тогда (7) в пределе дает при и так как это верно для любого x из единичного шара , то

при , что и требовалось доказать.

Следствие. Пространство X*, сопряжённое с линейным нормированным пространством X, есть банахово пространство.

Рассмотренную только что сходимость по норме в пространстве операторов называют также равномерной сходимостью последовательности операторов, потому что в этом случае сходится к равномерно на любом шаре , как это следует из неравенства

.