3. Критерий полноты пространства

Определение 7. Пусть дано метрическое пространство (X, d) и последовательность замкнутых шаров S[x_k, r_k]. Такая система шаров называется вложенной, если:

1. S[x₁, r₁]  S[x₂, r₂] ...;

2. r_n = 0.

Теорема 2. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому шару системы).

Необходимость. По 2) условию для вложенной системы для   > 0  N: 0 < r_k < , если k  N. Рассмотрим последовательность центров этих шаров. В силу условия 1) x_k  S[x_N, r_N], если k  N, то есть d(x_N, x_k)  r_N < . Тогда по неравенству треугольника легко получаем, что d(x_n, x_k) < 2 для всех n, k  N. Таким образом, {x_k} - фундаментальная последовательность в пространстве Х. В силу полноты этого пространства существует х = х_n. По 1) условию x_n  S[x_k, r_k] при n  k и x_n  x. В силу замкнутости шара S[x_k, r_k] это означает, что x  S[x_k, r_k] и это верно для произвольного k. Отсюда x принадлежит пересечению этих шаров.

Используя свойство 2) вложенной системы шаров и неравенство треугольника для метрики покажите самостоятельно единственность этой точки.

Достаточность. Возьмем y_k  X - произвольную фундаментальную последовательность в пространстве Х. Тогда для _k = (1/2)^k n_k: d( , y_m) < (1/2)^k при m  n_k. По последовательности { } построим следующую систему вложенных шаров . Для проверки вложенности этой системы очевидно достаточно проверить лишь первое условие в определении. Пусть у . Тогда d( , y)  d( , ) + d( , y)  (1/2)^k + (1/2)^k  (1/2)^k-1, т.е. у и  .

Следовательно = {x₀}. Тогда 0  d( , x₀)  (1/2)^k-1, то есть  x₀ (k  ). Тогда в силу леммы 4 сама последовательность {y_k} сходится к х₀.

Теорема доказана.

Определение 8. Диаметром множества М метрического пространства (Х, d) называется число diamM = sup d(x, y), где супремум берется по всем х, у М.

Определение 9. Система замкнутых множеств М_n метрического пространства (X, d) называется вложенной, если выполнены следующие два условия:

1. М₁  М₂  М₃  ...  М_n ...;

2. diam M_n  0 при n  .

Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается точно таким же образом.

Теорема 3. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система замкнутых множеств М_n в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому множеству системы).

Следующий пример показывает важность условия стремления к нулю диаметра множеств в определении вложенной системы.

Пример 9. В пространстве l₂ положим M_n = {x = (0, ..., 0, x_n, x_n+1, ...)}l₂: = 1}. Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, удовлетворяют условию 1) и не удовлетворяют условию 2) (вычислите диаметры рассмотренных множеств) определения 9. Достаточно очевидно, что их пересечение является пустым множеством.

4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа

Пусть (X, d) - полное метрическое пространство и M  X.

Определение 10. Множество М называется секвенциально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого множества.

Определение 11. Множество М называется относительно секвециально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

С понятием секвенциально компактного множества обычно впервые студенты встречаются в курсе математического анализа, в котором устанавливается теорема Больцано-Вейерштрасса: множество М в пространстве R_n является относительно секвенциально компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено.

В случае полного метрического пространства замыкание относительно секвенциально компактного множества является секвенциально компактным.

Теорема 4 (Хаусдорфа). Множество М относительно секвенциально компактно  >0  конечная -сеть, т.е. >0, x₁, x₂,..., x_nX: xM k(x): d(x, x_k) <  или S (x_k, )  M.

Необходимость. Пусть  >0 фиксировано. Возьмем произвольное x₁M. Тогда либо d(x₁,x)< для всех хМ (в этом случае х₁ образует нужную нам -сеть), либо существует х₂М такое, что d(x₁, x₂). Рассмотрим S_(x₁)S_(x₂). Возможно М S_(x₁)S_(x₂). Тогда конечная -сеть состоит из х₁ и х₂. Либо  x₃М: d(x₁, x₃)  , d(x₂, x₃)  . Рассмотрим S_(x₁)S_(x₂)S_(x₃). Возможно М S_(x₁)S_(x₂)S_(x₃). Тогда конечная -сеть состоит из х₁, х₂, х₃. Либо  x₄М: d(x₁, x₄)  , d(x₂, x₄)  , d(x₃, x₄)  . Продолжим процесс далее. Докажем, что этот процесс конечен методом от противного: предположим, что найдется последовательность х_nМ: d(x_k, x_m)  , k, m: k  m. Так как множество М относительно секвенциально компактно, можно выделить фундаментальную подпоследовательность: { }. Следовательно, для заданного  > 0  n₀:  n₀  d( , ) < . Получаем противоречие.

Достаточность. Пусть _n = 1/n. Для _n построим конечную _n - сеть {y_iⁿ}_i=1^m(n). Тогда M S[y_i¹, ₁]. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}M. Так как последовательность бесконечная, а шаров покрывающих М (и всю последовательность) конечное число, то существует шар в котором бесконечно много элементов последовательности. Обозначим через S₁ такой шар, соответствующий ₁. Пусть Т₁ бесконечная часть последовательности {x_n}, попавшая в шар S₁. Возьмем теперь n = 2. Тогда Т₁  M  S[y_i², ₂]. Аналогично, найдется шар S₂, радиуса ₂ и содержащий Т₂ – бесконечную часть Т₁. Продолжаем этот процесс до бесконечности, получим последовательность шаров S_k радиуса _k и последовательность бесконечных вложенных в друг друга подмножеств последовательности {x_n}: Т₁  Т₂  Т₃ ... Так как Т_k  S_k, то расстояние между элементами множества Т_k не превосходит 2_k. Выберем теперь из множества Т₁ произвольный элемент, он является членом последовательности {x_n} и имеет в ней индекс n₁: . Выберем из множества Т₂ также произвольный элемент лишь налагая условие, что его индекс n₂>n₁: . Такой элемент можно выбрать, т.к. n₁ конечное число, а Т₂ - бесконечное множество. Продолжаем этот процесс: выбираем из Т₃ элемент, налагая условие n₃>n₂. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим подпоследовательность { } последовательности {x_n}, обладающую тем свойством, что Т_m, если km. Последнее означает, что в случае, когда 1/m < /2 расстояние d( , ) < . Отсюда следует, что построенная нами подпоследовательность { } является фундаментальной. Теорема доказана.

Следствие 1. Для того чтобы множество М в полном метрическом пространстве было относительно секвенциально компактно необходимо и достаточно чтобы у него существовала компактная -сеть.

Следствие 2. Любое секвенциально компактное множество является ограниченным.

Следствие 3. Секвенциально компактное метрическое пространство X сепарабельно.

Доказательство этих следствий не представляет особой сложности и предоставляется читателю.

Теорема 5. Для того чтобы замкнутое множество М в полном метрическом пространстве было секвенциально компактно необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно.

Необходимость. Предположим противное: пусть {G_} - открытое покрытие секвенциально компактного множества М, для которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Положим _n = 1/n и построим конечные _n - сети для М: {у_k⁽ⁿ⁾}_k=1^m(n). Пусть n = 1. Тогда M  S[y_i¹, ₁] и М = М_i⁽¹⁾, где М_i⁽¹⁾ = S[y_i¹, ₁]М. Так как нет конечного подпокрытия, то хотя бы одно из М_i не будет покрываться конечным числом множеств системы {G_}. Обозначим это множество . Как пересечение двух замкнутых множеств множество является замкнутым и, как часть М, секвенциально компактным, при этом диаметр множества не превосходит 2₁ ( S[y_i¹, ₁] для некоторого i). Кроме того,  S[y_i², ₂]. Тогда = , где = S[y_i², ₂]  . Так как для не существует конечного подпокрытия , то хотя бы одно из множеств также не покрывается конечным подпокрытием. Обозначим его через . Так же как выше, нетрудно видеть, что множество является замкнутым, секвенциально компактным, с диаметром меньше 2₂, при этом   М.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность вложенных в друг друга, замкнутых компактных множеств , диаметры которых не превосходят 2_n. Таким образом, мы имеем систему вложенных замкнутых множеств, причем каждое из этих множеств нельзя покрыть конечной подсистемой множеств из {G_}. Согласно критерия полноты метрического пространства существует точка х₀, которая принадлежит всем этим множествам. Так как система {G_} является покрытием множества М, то существует такое множество G_, что х₀ G_. Множество G_ является открытым, следовательно существует такой открытый шар S(x₀, r), что S(x₀, r)  G_. Тогда найдется такой номер n₀, что 2_n < r при n > n₀. Но в этом случае d(x₀, y)  2_n < r для любого у  . Следовательно, у S(x₀, r) и  S_r(x₀)  G_ и мы пришли к противоречию, что ни одно из множеств нельзя покрыть конечным числом множеств системы {G_}.

Достаточность. Пусть множество М компактно. Рассмотрим систему множеств {S(x, )}_xM, где >0 фиксировано. Очевидно, что  _xM S(x, )  M и система {S(x, )}_xM является открытым покрытием множества М. По условиям теоремы из этого покрытия мы можем выделить конечное подпокрытие {S(x_k, )}_k=1ⁿ. Но в этом случае {x_k}_k=1ⁿ является конечной -сетью множества М и множество М секвенциально компактно по критерию Хаусдорфа и в силу замкнутости.

Теорема доказана.

В n-мерном евклидовом пространстве относительная секвенциальная компактность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l₂ дает нам пример ограниченного, но не компактного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е₁=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е₂=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

………………………,

е_n=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

……………………….

Расстояние между любыми двумя точками е_n и е_м (n  m) равно . Поэтому последовательность {е_i} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной -сети ни при каком < /2.

Рассмотрим в l₂ множество П точек x=(x₁, x₂, , x_n, ...), удовлетворяющих условиям:

| x₁|1, | x₂|1/2, ,| x_n|1/2^n-1, ...

Это множество называется «гильбертовым кирпичом» пространства l₂. Оно представляет собой пример бесконечномерного компактного множества. Для доказательства этого поступим следующим образом (сравни с доказательством критерия компактности множеств в пространстве l_p). Пусть  > 0 задано. Выберем n так, что 1/2^n-1 < /2. Каждой точке x = (x₁, x₂, , x_n, ...) из П сопоставим точку x*=(x₁, x₂, , x_n, 0, 0, ...) из того же множества. При этом

Множество П* точек вида x*=(x₁, x₂, , x_n, 0, 0, ...) из П компактно (как изометрически изоморфное множество ограниченному множеству в n-мерном пространстве) и следовательно является компактной -сетью для П, так как d(x, x*)<. В силу следствия из теоремы Хаусдорфа множество П компактно.