6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]

Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то существует последовательность многочленов {Р_n(х)}, равномерно на отрезке [а, b] сходящаяся к f(x), т. е. для любого  > 0 найдется многочлен Р_n(х) с номером n, зависящим от , такой, что |P_n(x) - f(x)| <  сразу для всех х из отрезка [а, b].

Иными словами, непрерывную на сегменте [а, b] функцию f(x} можно равномерно на этом отрезке приблизить многочленом с наперед заданной точностью .

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, b] рассматривать сегмент [0, 1], поскольку линейным преобразованием х = (b – a)t + a, один отрезок переводится в другой. Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции f(x), об­ращающейся в нуль на концах отрезка [0, 1], т. е. удовлетворяю­щей условиям f(0) = 0 и f(1) = 0. В самом деле, если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то, положив g(x) = f(x) – f(0) - x[f(l) -f(0)] мы получили бы непрерывную на отрезке [0, 1] функцию g(x), удовлетворяющую условиям g(0) = 0 и g(1) = 0. Тогда из возмож­ности представления g(x) в виде предела равномерно сходящей­ся последовательности многочленов вытекало бы, что и f(x) представима в виде предела равномерно сходящейся последовательно­сти многочленов (так как разность f(x) – g(x) является многочле­ном первой степени).

Итак, пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 1] и удов­летворяет условиям f(0) = 0, f(1) = 0. Такую функцию f(x) можно продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за преде­лами отрезка [0, 1], и утверждать, что так продолженная функция является в силу теоремы Кантора равномерно непрерывной на всей прямой.

Рассмотрим следующую последовательность многочленов степени 2n:

Q_n(x) = c_n(1 – x²)ⁿ (n = 1, 2, …), (2)

у каждого из которых постоянная с_п выбрана так, чтобы выпол­нялось равенство

(n = 1, 2, …). (3)

Очевидно, что все многочлены принимают неотрицательные значения. Не вычисляя точного значения постоянной с_n оценим ее свер­ху. Для этого заметим, что для любого номера n = 1, 2, ... и для всех х из отрезка [0, 1] справедливо неравенство

(1 - х²)ⁿ  1 - nx². (4)

(данное неравенство легко доказывается если показать, что функция h(x) = (1 - х²)ⁿ - 1 + nx² равна нулю в нуле и возрастает на отрезке – производная положительна).

Применяя неравенство (4) и учитывая, что при лю­бом n 1, будем иметь

. (5)

Из (2), (3) и (5) заключаем, что для всех номеров n = 1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоянной с_n

с_n (6)

Из (6) и (2) вытекает, что при любом  > 0 для всех х из сегмента   |x| 1 справедливо неравенство

0  Q_n(x)  (1 - ²)ⁿ. (7)

Из (7) следует, что при любом фиксированном  > 0 после­довательность неотрицательных многочленов {Q_n(x)} сходится к нулю равномерно на сегменте   |x| 1.

Положим теперь для любого х из отрезка [0, 1]

P_n(x) = (8)

и убедимся в том, что для любого n = 1, 2, ... функция Р_п(х) есть многочлен степени 2n, причем {Р_n(х)} и является искомой по­следовательностью многочленов, равномерно сходящейся на отрезке [0, 1] к функции f(x).

Так как изучаемая функция f(x) равна нулю за пределами сег­мента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (8) можно записать в виде

P_n(x) =

Заменяя в последнем интеграле переменную t на t–x, мы при­дадим ему вид

P_n(x) = (9)

Из (9) и (2) ясно, что функция Р_n(х) представляет со­бой многочлен степени 2n.

Остается доказать, что последовательность {Р_n{х)} сходится к f(x) равномерно на отрезке [0, 1]. Фиксируем произвольное  > 0. Для фиксированного  в силу равномерной непрерывности f(х) на всей числовой прямой найдется  > 0 такое, что

|f(x) - f(y)| < /2 при |х – у| < . (10)

Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на отрезке [0, 1], то она ограничена на этом отрезке, а следовательно, и всюду на числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А та­кая, что для всех х

|f(x)|  A. (11)

Используя (3), (6), (10) и (11) и учитывая неотрица­тельность Q_n(x), оценим разность P_n(x) – f(x). Для всех х из отрезка [0, 1] будем иметь

| P_n(x) – f(x)| =

.

Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров n справедливо неравен­ство .

Теорема 8. Пространство С[a, b] сепарабельно.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве C[a, b] множество всех многочленов Z, коэффициенты которых являются рациональными числами. Это множество можно рассматривать как счетное объединение счетных множеств (по координатам). Покажем, что это множество всюду плотно в C[a, b].

Пусть f(x)  C[a, b]. В силу теоремы Вейерштрасса для произвольного  > 0 найдется многочлен P_n(x) = а₀ + а₁х + …+a_nxⁿ такой, что d(f(x), P_n(x)) < /2. Выберем в множестве Z многочлен Z_n = b₀ + b₁x + … + b_nxⁿ такой, чтобы |a_k – b_k| < /(2nmax(|a|, |b|, |a|ⁿ, |b|ⁿ)). Тогда, как нетрудно проверить, d(P_n(x), Z_n) < /2. В силу неравенства треугольника это доказывает всюду плотность счетного множества Z в С[a, b].