Глава 3 мера и измеримые множества

1. Системы множеств

Определение 1. Пусть М - произвольное множество. Непустая система  неко­торых его подмножеств называется кольцом, если для  А, В  

1. AB  .

2. A\B  .

Из этого определения следуют ряд простых следствий. В частности, любое кольцо  содержит пустое множество ( = А\А); вместе с множествами А и В кольцо  содержит и симметрическую разность АВ = (А\В)(В\А); кольцо также замкнуто относительно операции пересечения АВ = (АВ)\(АВ).

Замечание. В учебниках можно встретить разные определения кольца множеств. Эти определения эквивалентны между собой.

Определение 2. Непустая система  подмножеств множества М называется ал­геброй, если

1. Если А, В  , то A  В  .

2. Если А , то А^С = М\А  .

Теорема 1. Для того чтобы система  подмножеств множества М была алге­брой, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и М  .

Необходимость. Пусть система множеств  является алгеброй и А, В  . Тогда по второму А^С, В^С. Следовательно (1 свойство) А^С  В^С  и снова по второму свойству (А^С  В^С)^С = АВ . Следовательно алгебра замкнута относительно операции пересечения.

Используя представление А\В = (АВ^С) получаем, что алгебра замкнута также и относительно операции вычитания множеств. Последнее доказывает, что она является кольцом.

Так как пустое множество принадлежит кольцу , то и ^С = М также принадлежит .

Достаточность. Пусть кольцо  содержит множество М. Тогда, по свойствам кольца, будут выполнены первое и второе свойство алгебры.

Определение 3. Непустая система  подмножеств множества М называется -кольцом, если оно кольцо, замкнутое по отношению к объединению не только конечного, но и счетного множества множеств, т.е. если

1.из A_i  , (i = 1, 2,...) следует, что А = A_i  

2.из А, В   следует, что А\В  .

Требование, чтобы объединение конечного числа множеств из  входило в , здесь уже содержится, т.к. в условии 1, в частности, можно взять все A_i, начиная с некоторого, равными пустому множеству.

Определение 4. Непустая система A подмножеств множества М называется -алгеброй, если она удовлетворяет условию (1) из определения -кольца и условию (2) из определения алгебры.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Для того чтобы совокупность  была -алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была -кольцом и чтобы М  .

Определение 5. Пусть К – произвольная непустая совокупность подмножеств множе­ства М, тогда всегда существует наименьшее кольцо (алгебра, -кольцо или -алгебра), содержащее К  .

Действительно, таким  будет пересечение всех колец ' (алгебр, -колец или -алгебр), состоящих из подмножеств множества М и содержащих К (та­кие ' существуют, например, совокупность всех подмножеств множества М), эта совокупность  называется кольцом (алгеброй, -кольцом или -алгеброй), порожденным совокупностью К.

Определение 6. Система  подмножеств множества М называется полуколь­цом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.   ;

2. если А, В  , то АВ  ;

3. если A, B  и B  A, то существует конечная совокупность таких дизъюнктных множеств С_n  , что А \ В = C_n.

Из указанных свойств кольца вытекает, что любое кольцо является полукольцом.