3.2. Расчет круглого вала на кручение
Стальной
брус круглого поперечного сечения
нагружен системой внешних моментов
(рис.11.а), а именно:
,
,
.
Линейные
размеры отдельных частей бруса:
,
,
,
.
Механические свойства материала бруса:
,
,
.
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов.
Определить диаметр бруса из расчёта на прочность и жёсткость.
Построить эпюру максимальных касательных напряжений.
Построить эпюры абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.
Решение:
Из условия равновесия
находим реактивный момент в защемлении:
или
.
Методом сечений определяем крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса (рис.11.б).
Участок
I:
;
.
Участок
II:
;
.
Участок
III:
;
Крутящий
момент на участке III
проще получить, рассматривая правую
часть бруса:
.
Участок
IV:
;
.
По
полученным данным построена эпюра
крутящих моментов (рис12.в), из которой
видно, что участок I
бруса является наиболее опасным, так
как в поперечных сечениях этого участка
крутящий момент имеет максимальное
значение:
.
Определяем диаметр бруса круглого сечения:
А)
из условия прочности
,
тогда
Б)
из условия жёсткости
,
где
,
тогда
.
Окончательно
принимаем большее из полученных значений
с округлением в большую сторону согласно
ПРИЛОЖЕНИЯ 3,
.
При
этом,
,
.
Вычисляем величины наибольших касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях отдельных участков бруса:
,
,
.
Знак касательного напряжения не имеет физического смысла и здесь указан лишь для достижения соответствия эпюр касательных напряжений и крутящих моментов (рис.11.г).
Углы поворота граничных сечений участков относительно неподвижного сечения О определяем по формуле
.
В пределах между границами участков величины углов поворота изменяются по линейному закону.
Жёсткость поперечного сечения рассчитываемого бруса
.
Угол поворота сечения А относительно сечения О
.
Угол поворота сечения В относительно сечения А
.
Угол поворота сечения В относительно сечения О
.
Аналогично,
,
,
,
.
Эпюра
дана на рис.11.д.
Определяем относительные углы закручивания на отдельных участках бруса:
,
,
,
.
Эпюра
построена на рис.11.е.
Рис.11.
3.3. Расчет геометрических характеристик составного сечения
Требуется:
Определить моменты инерции сечения, составленного из простых геометрических фигур, относительно главных центральных осей (см. рис.12).
Решение:
1. Определим положение центра тяжести сечения, состоящего из простых геометрических фигур, (рис. 12.а).
1.1. Разобьем сечение на три простых геометрических фигуры:
1 – прямоугольник, 2 – треугольник и 3 – круг (рис. 12.б).
1.2. Определим центры тяжести простых фигур С1, С2, С3.
1.3. Выберем систему координат. Ось Z проведем через центр тяжести С1 прямоугольника, а ось Y совместим с осью симметрии сечения.
1.4. Определим координаты центра тяжести сечения. Координата zC=0, так как ось Y совпадает с осью симметрии. Координату yC определим по формуле:
,
где Ai и yi – площадь и координаты центра тяжести i – ой фигуры.
Используя прил. П.4, определим площади фигур и координаты центров тяжести:
.
Подставим числовые значения в формулу для определения yC:
.
Таким
образом,
относительно
оси Z,
проведенной через центр тяжести С1
прямоугольника,
Для проверки решения ось Z можно провести по нижней грани сечения.
2. Определим моменты инерции сечения относительно главных центральных осей (см. рис. 12).
2.1. Для каждой фигуры проводим центральные оси z1, z2, и z3.
2.2. Проводим главные центральные оси через центр тяжести сечения С. Вертикальную ось YC совместим с осью симметрии Y, а горизонтальную ось ZC проведем через центр перпендикулярно оси YC:
;
;
.
2.3. Момент инерции сечения относительно оси Z определим по формуле:
.
Определим значение каждого слагаемого (см. прил. П.4). Момент инерции первой фигуры – прямоугольника – равен:
Момент
инерции круга:
.
Момент
инерции треугольника:
.
Подставим числовые значения в формулу для определения
.
2.4. Определим моменты инерции отдельных фигур сечения относительно оси Y по формулам:
;
;
.
Подставим числовые значения в формулу для определения момент инерции всего сечения
.
Ответ:
.