Принцип Дюамеля

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности^[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамель (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

с начальными условиями

Решение имеет вид:

8

Полуограниченная струна (метод продолжения)

Рассмотрим задачу Коши

(10)

(11)

, (12)

описывающую колебания полуограниченной струны. Эта задача важна для изучения процессов отражения волн.

Введем функции

,

являющиеся нечетными продолжениями функций и , входящих в начальные условия (12).

Функция

определена для всех , , удовлетворяет начальным условиям (12) и, в силу теоремы 1, граничному условию (11). Поэтому является решением задачи (10) - (12). Функция

д ает решение задачи (10) - (12), а также совпадает с решением (9) для бесконечной струны.

Задача 5. Изобразить процесс распространения волны, описываемой уравнением (10) и условиями (11) - (12), если , график функции изображен на рис. 8 (штрихами изображено нечетное продолжение функции на левую полуось).

Задача 6. Используя теорему 1 доказать, что решение задачи Коши (10), (12) с граничным условием дается функцией

Указание. Продолжить функции и четным образом.

Задача 7. Используя метод продолжения, решить задачу Коши для ограниченной струны длины , закрепленной на концах:

( ), , .

9

Метод Фурье

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из основных методов решения уравнений с частными производными. Изложим суть метода на примере задачи о колебании струны длины , закрепленной на концах.

Колебания струны описываются уравнением

(1)

граничные условия

(2)

начальные условия

(3)

Решение ищем в виде произведения , где функция переменного , - функция переменного . Подставив в (1) и поделив на получим равенство , где точками обозначена вторая производная по , штрихами – вторая производная по . Левая часть этого равенства зависит только от , правая – только от . Для того, чтобы равенство выполнялось тождественно для всех и , потребуем, чтобы каждая из его частей была постоянной. Обозначим эту постоянную через . Получим обыкновенные дифференциальные уравнения

, (4)

(5)

с граничными условиями

.

Отсюда следует, что .

Граничная задача отыскания нетривиального решения уравнения

(6)

и тех значений параметра , при которых это решение существует, называется задачей Штурма – Лиувилля, числа - собственными числами (собственными значениями), решения – собственными функциями задачи.

Рассмотрим все возможные случаи.

1) Если , то и из граничных условий следует, что , т.е. .

2) Если , то . Поэтому . Граничные условия снова приводят к равенствам и .

3) Если , то . Граничные условия дают равенства ; . Так как , то . Следовательно , откуда ( - любое натуральное число). Таким образом, ненулевые решения возможны только при . Этим собственным числам отвечают собственные функции

Подставив найденные числа в (5), получим набор решений уравнения (5)

(7)

с произвольными постоянными и .

Возвращаясь к задаче (1) – (3) заключаем, что функции

(8)

являются частными решениями уравнения (1) и удовлетворяют граничным условиям (2). Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому формальная сумма частных решений

(9)

также (формально) удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2). Остается подобрать коэффициенты и так, чтобы функция (9) удовлетворяла начальным условиям (3). Формально подставив (9) в (3), получим систему

(10)

Из теории рядов Фурье известно ([5], гл.VII, § 11), что в силу теоремы Дирихле кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная на отрезке , раскладывается в ряд Фурье

Полагая, что функции и этим условиям удовлетворяют, получим

(11)

(12)

Подставив (11) и (12) в (10) и используя условие равенства двух тригонометрических рядов, получим , . Таким образом, функция

(13)

дает формальное решение задачи (1) - (3).

10

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности^[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамель (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

с начальными условиями

Решение имеет вид:

  При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)=φ(x), U_t(x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называется первой начально-краевой задачей для волнового уравнения. Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго  рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей. Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными.

Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке

,

Решение. Ищем решение в виде .

Подставляем  в уравнение ,

.

Тогда функции  и  – решения задач

,

;

Решаем задачу Штурма-Лиувилля

:

, .

Для этих значений  имеем

Функции

 − частные решения уравнения, ,

.

.

Начальные условия:

, ,

, ,

, .

 и

имеем ,

.

.

11

Рассмотрим смешанную краевую задачу:

найти функцию u(x,t) непрерывную в прямоугольнике , удовлетворяющую уpавнению :

(1)   в ,

где ,

начальным условиям:

(2a)   u(x,0) = φ(x),   ;

(2б)   u_t(x,0) = ψ(x),   ;

и граничным условиям:

(3)  

где (так как одновременно).

Сформулируем для этой задачи теорему единственности :

Теорема:   cмешанная задача (1)-(3) имеет единственное решение, если выполняется :

(A)   u(x,t) - имеет непрерывные производные до второго порядка включительно в .

(B)   Коэффициенты (x), k(x), k'(x), q(x) - непрерывные функции при .

12

13

При исследовании стационарных процессов (не зависящих от времени) различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа: .

Определение:  Функция u называется гармонической в области Ω, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Рассмотрим стационарное тепловое поле. Известно, что температура нестационарного теплового поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности

u_t = a²

, где .

Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры u(x, y, z), не меняющейся с течением времени и, следовательно,удовлетворяющее уравнению Лапласа . При наличии источников тепла получаем уравнение

, ,

где F - плотность тепловых источников, а k - коэффициент теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа часто называют уравнением Пуассона.

Рассмотрим некоторый объем Ω, ограниченный поверхностью . Задача о стационарном распределении температуры u(x, y, z) внутри тела Ω формулируется следующим образом: найти функцию u(x, y, z) , удовлетворяющую внутри Ω уравнению и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

1. u = f₁ на (первая краевая задача),

2. на (вторая краевая задача),

3. на (третья краевая задача),

где f ₁ , f ₂ , f ₃ , h - заданные функции, - производная по внешней нормали к поверхности .

Физический смысл этих граничных условий очевиден. Первую краевую задачу часто называют задачей Дирихле, вторую задачу - задачей Неймана, а третью задачу - задачей Робена или смешанной задачей.

14

15

Теорема о среднем. Пусть функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R с центром (х_o,у_o) и непрерывная в соответствующем замкнутом круге Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г, ограничивающей данный круг, то есть

Следствие. Если функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R и непрерывная в соответствующем замкнутом круге ,то

Теорема2:   если u(M) - гармоническая в Ω функция, а М₀ - внутренняя точка Ω (М є Ω), то

где - сфера радиуса а с центром в точке М₀, целиком лежащая в области Ω.

Эту теорему можно сформулировать по-другому:

значение гармонической функции во внутренней точке М₀ равно среднему арифметическому значений u(M) на сфере , окружающей эту точку и целиком лежащей в области гармоничности функции u(M) ( є Ω).

Доказательство:   применим интегральную формулу Грина к шару К(М₀, а) с центром в точке М₀ радиуса а с поверхностью :

.

Принимая во внимание, что на поверхности :

(направление внешней нормали к совпадает с направлением радиуса) и учитывая, что

(по теореме1),

получаем

.

Что и требовалось доказать.

16

Теорема3:  если функция u(M), отличная от постоянной гармоническая в ограниченной области Ω и непрерывна в замкнутой области , то максимальные и минимальные значения функциии u(M) достигаются на границе области - на поверхности .

.

Доказательство: ( от противного )   проведем его для максимума функции u. Допустим, что функция u(M) достигает максимального значения в некоторой внутренней точке М₀ є Ω:

(*)   , где М є Ω (любая точка Ω).

Окружим точку М₀ сферой радиуса , целиком лежащей в области Ω. Поскольку, по предположению, М₀ есть наибольшее значение функции u(M) в , то . Пользуясь формулой среднего значения (теорема2) и заменяя под интегралом всюду u(M) большим значением М₀, получим:

.

Получили .

Если предположить, что хотя бы в одной точке М сферы  u(M) < u(М₀) [строгое неравенство], то очевидно, что вместо знака в предыдущем соотношении будем иметь знак <, что приведет к противоречию. Таким образом на всей поверхности имеем: u(M)  u(М₀) = G.

Если r₀ - минимальное расстояние от М₀ до поверхности , то u(M)  u(М₀) для всех точек, лежащих внутри .

Отсюда следует, что в точках М*, принадлежащих общей части и , по поверхности М* = u(М₀).

Нетрудно убедиться, что если область Ω связная и максимальное значение достигается хотя бы в одной внутренней точке М₀, то u(M)  u(М₀) во всей области.

Пусть какая-либо другая точка области Ω.

Соединим точку с точкой М₀ ломаной линией L, длину которой обозначим через l. Пусть М₁ есть последняя точка выхода линии L из . В этой точке u(М₁) = u(М₀). Опишем из этой точки сферу радиуса r₁, касающуюся , и пусть М₂ - последняя точка выхода L из . В этой точке u(М₁) = u(М₀). Продолжая этот процесс далее, получим, что не более чем через шагов, где r_m -минимальное расстояние от L до , одна из этих сфер захватит точку , откуда следует, что u( ) = u(М₀).

В силу произвольности и непрерывности u(M) в замкнутой области , заключаем, что u(M)  u(М₀) = G всюду, включая точки границы. Это противоречит нашему прдположению о том, что .

Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, поэтому u(M) не может принимать свое значение внутри области Ω.

Но так как u(M) непрерывна в замкнутой области , то она обязательно (теорема Вейерштрасса) достигает своего максимального значения в в некоторой точке . Так как не может быть внутренней точкой области Ω, то .

Заменяя u на (-u) можно показать, что минимальное значение функция u не может принимать в области Ω.

23

Введем обозначения:

  .

Теорема (принцип максимального значения): .

Функция u(x,t) непрерывная в Ĝ и удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности:

(*)   u_tt = a²u_xx в G + H принимает наибольшее и наименьшее значения на границе Г (т.е. при х = 0, x = l или t = 0).

Физический смысл:   если температура на границе или в начальный момент времени меньше K, то при отсутствии источников тепла, внутри тела не может создаваться температура, большая К.

Доказательство: от противного.

Обозначим М наибольшее значение u(x,t) в Ĝ = G + H + Г, а через m - наибольшее значение u(x,t) на Г:

  .

Допустим, что существует такое решение u(x,t), для которого M > m, т.е. где не выполняется условие теоремы.

Пусть эта функция принимает значение М в некоторой точке (x₀,t₀) є G + H;   т.е. u(x₀,t₀) = M.

Замечание: всякая непрерывная функция в замкнутой области достигает своего максимального значения. Достаточным условием существования относительного минимума функции в точке x₀ є (0;l ) являются:

a)   ;

б)   ;

тогда для максимума:

a)   ;

б) не может быть f'' (x₀)>0; т.е. .

Сравним знаки левой и правой частей уравнения в точке М, где по предположению u(x,t) достигает максимума:   ; так как u(x₀,t) достигает максимума при t = t₀, то   .

Получаем, что в точке (x₀,t₀): .

Однако, это еще не есть противоречие, так как может быть равно 0.

Для полного доказательства найдем точку (x₁,t₁), в которой оценка одной из частных производных, входящих в уравнение будет иметь строгое неравенство.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

(**)  

Функция υ(x₀,t₀) = u(x ₀,t₀) = M и значит, наибольшее значение υ(x,t) в Ĝ не меньше, чем М:

Но на границе Г для υ(x,t) имеем (на Г max(x - x₀)) = l:

  (так как m < M).

Следовательно, функция υ(x,t) также как и u(x,t) не принимает наибольшего значения на Г. Пусть υ(x,t) принимает наибольшее значение в точке (x₁,t₁) є G (внутренняя точка).

Согласно необходимым условиям максимума в точке (x₁,t₁) для υ(x,t) должно быть: , т.е в точке (x₁,t₁):   .

Тогда в этой же точке для функции u(x,t) из (**):

  ;

  ;

Тогда для функции u(x,t) в точке (x₁,t₁) получаем:

  .

т.е. уравнение (*) во внутренней точке (x₁,t₁)є G не удовлетворяется.

Замечание: при доказательстве изначально мы не требуем, чтобы u(x,t) удовлетворялa уравнению теплопроводности, мы только изучаем ее поведение (max и min) и показываем, что, если максимум u(x,t) достигается внутри G, то u(x,t) - не удовлетворяет уравнению.

Следствие1.   Если два решения уравнения теплопроводности u₁(x,t) и u₂(x,t) удовлетворяют условиям:

  ;   , то   для всех   .

Доказательство:   пусть υ(x,t) = u₂(х ,t) - u₁(х ,t):   f(x,t) = 0, отсюда u max, min;

  , отсюда неотрицательный max достигается на границе, тогда в Ĝ u(x,t) - неотрицательна, т.е. в G.

Следствие2.   Если три решения уравнения теплопроводности ů, u, ũ, удовлетворяют условиям: при t = 0; x = 0; x = l, то эти неравенства выполняются тождественно, т.е. (x,t) є Ĝ.

Доказательство:   применяя следствие1 сначала к функциям u(x,t), ũ(x,t), а затем   ů(x,t) и u(x,t) получим требуемые соотношения.

Следствие3.   Если для двух решений уравнения теплопроводности u₁(х ,t) и u₂(х ,t) имеет место:

для t = 0; x = 0; x = l, то тождественно в Ĝ.

Доказательство:   к функциям:

ů(x,t) = - ε

u(x,t) = u₁(х ,t) - u₂(х ,t)

ũ(x,t) = ε

применим следствие2, тогда получим то, что требовалось доказать.

Это следствие доказывает устойчивость решения 1^ой краевой задачи для уравнения теплопроводности.