1.
Будем
рассматривать функции вида U=U(x1,x2,…,xn),
x=(x1,x2,...,xn)
.
В частных случаях: при n=2: x1= x; x2= y => U=U(x,y) либо x1= x; x2= t => U=U(x,t); при n=3: x1 = x; x2 = y; x3 = z => U=U(x,y,z) либо x1= x; x2= y; x3= t => U=U(x,y,t); при n=4: x1 = x; x2= y; x3 = z;x4 = t => U=U(x,y,z,t).
В этом случае переменные x, y, z называются пространственными переменными, t - время.
Условимся
для простоты записи обознать частные
производные
,
и т.д.
Определение. Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение вида
Другими словами - это уравнение, связывающее независимые переменные xi, неизвестную функцию U и ее частные производные до порядка k.
Определение. Порядком дифференциального уравнения с частными производными называется высший из порядков частных производных, входящих в это уравнение.
Определение.
Решением уравнения с частными производными
порядка k
называется функция U=U(x1,
x2
, … ,xn),
определенная в некоторой области
,
которая имеет производные до порядка
k
и
при подстановке в уравнение обращает
его в тождество по (x1,
x2,
… , xn).
Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если функция U и ее частные производные входят в него линейным образом.
Запишем общий вид линейного уравнения с двумя переменными: в случае уравнения 1-го порядка:
(1)
в случае уравнения 2-го порядка:
(2)
Функции a(x, y), b(x, y), … , A(x, y), B(x, y) … - коэффициенты (заданные функции), f(x, y)- правая часть (заданная функция) линейного дифференциального уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение с частными
производными называется однородным,
если его правая часть тождественно
равна нулю, т.е
при
всех (x,y)
D.
Определение.
Дифференциальное уравнение с частными
производными называется неоднородными,
если его правая часть тождественно не
равна нулю, т.е.
при
некоторых (x,y)
D.
Определение. Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения - постоянные, то такое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Левая часть уравнения (1) или (2) обычно обозначается через LU и называется линейным дифференциальным оператором с частными производными порядка 1 или 2, соответственно. Тогда линейное неоднородное дифференциальное уравнение будет иметь вид LU = f(x ,y), а линейное однородное дифференциальное уравнение будет иметь вид LU = 0.
Определение.
Выражение вида
или
называется
оператором Лапласа, соответственно, на
плоскости или в пространстве.
Условимся для более краткой записи сокращать (линейное) дифференциальное уравнение до (Л)ДУ, линейное (не)однородное дифференциальное уравнение до ЛОДУ (ЛНДУ).
Среди ЛДУ второго порядка есть уравнения, которые имеют особое значение. Перечислим их:
1. Уравнение Лапласа- уравнение вида ∆U=0 (n=2,3)- ЛОДУ 2-го порядка.
Уравнение Пуассона- уравнение вида ∆U=f (n=2,3)- ЛНДУ 2-го порядка.
2. Волновое уравнение- уравнение вида Utt=a2ΔU, где ΔU=Uxx+Uyy на плоскости или ΔU=Uxx+Uyy+Uzz в пространстве. Одномерное волновое уравнение (на прямой)- уравнение вида Utt=a2Uxx.
3. Уравнение теплопроводности- уравнение вида Ut=a2∆U, где где ΔU=Uxx+Uyy на плоскости или ΔU=Uxx+Uyy+Uzz в пространстве. Одномерное уравнение теплопроводности (на прямой)- уравнение вида Ut =a2Uxx.
Именно эти уравнения являются основными уравнениями математической физики.
олололол ещё одно
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных 1го порядка:
Предположим,
что коэфффициенты Ai (x1
,..,xn )- определены и непрерывны
вместе со своими частными производными
по всем аргументам в окрестности
начальной точки
и
не обращаются одновременно в нуль.
Пусть
построим
по уравнению (1) систему о.д.у. в симметричной
форме:
В
данной системе все xi
входят равноправно.
Выберем xn в качестве независимой переменной и перепишем систему (2) в нормальной форме:
Система (3*) Вам знакома.
Вспомним некоторые понятия и теоремы курса "Обыкновенные диффренциальные уравнения", относящиеся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
1) Для того, чтобы гарантировать существование хотя бы одного решения системы (3), удовлетворяющие некоторым начальным условиям, достаточно предположить , что правые части системы (3) fi (x1 ,.., xn)- непрерывны в окрестности начальной точки x0 = (x10 ,.., xn0); [ т. Пеано].
2)
Чтобы гарантировать не только
существование, но и единственность
решения задачи Коши для (3), на fi
(
)
нужно наложить дополнительные ограничения:
требование существования ограниченных
частных производных от fi
по переменным xi [ т.
Пикара].
В дальнейшем нас будет интересовать именно задача Коши. Поэтому будем считать, что для fi ( ) выполняются условия т.Пикара.
3) При условиях, наложенных на fi ( ) - правые части системы (3), эта система будет иметь ровно (n-1) линейно - независимое решение:
Определение: Совокупность (n-1) функций:
,
определенных в некоторой области Ω
изменения переменных c1
,.., cn -1 , xn
, непрерывно дифференцируемых относительно
xn, называется общим
решением системы (3). При этом:
1) система (4) должна быть разрешима в Ω относительно произвольных c1 ,.., cn -1, т.е.
или
2) совокупность (4) является решением системы (2) при всех значениях произвольных постоянных, определяемых формулами (5), когда точка (x1 ,.., xn) пробегает область Ω.
Определение: Функция ψ(x1 ,.., xn), не равная тождественной постоянной, называется интегралом системы (3), если при подстановке в неё какого-либо решения системы (3), получается постоянная.
Определение: Соотношение ψ(x1 ,.., xn) = с, где ψ - интеграл системы (3), с - произвольная постоянная называется первым интегралом системы.
По сути дела и (4), и (5) определяют решения системы (3), при этом (4) - решение в форме Коши.
Определение:
Интегралы ψ1 ,.., ψn
-1 называются независимыми,
если не существует соотношения
Так как правые части системы (3) определены и дифференцируемы в окрестности Ω точки x0, то эта система имеет ровно (n-1) незвисимых интегралов (первых интегралов). А следовательно и система (2) - имеет (n-1) независимых интегралов.
Определение: Совокупность (n-1) независимых интегралов называется общим интегралом системы (3).
Определение: В пространстве координат x1,..,xn эта система интегралов (5) определяет семейство линий, зависящее от (n-1) параметра, которые называют характеристиками д.у. в ч.пр.(1). Соответственно система (2) называется характеристической системой дифференциальных уравнений для д.у. в ч.пр.(1).
Теорема: Если ψ1 ,.., ψn -1 (x1 ,.., xn) - непрерывно-дифференцируемые интегралы системы (3), то любая непрерывно-дифференцируемая от них функция ψ = F(ψ1 ,.., ψn -1), производные которой по ψ1 ,.., ψn -1 не обращаются в нуль одновременно, также является интегралом системы.
Доказательство:
ψ1 ,.., ψn
-1-интегралы; значит эти интегралы в
силу системы (3) обращаются в постоянную
ψi (x1
,.., xn)(3) = c, т.е.
.
Покажем, что
.
-
интеграл системы (3).
Теорема: 1) Если ψ(x1 ,.., xn) есть непрерывно-дифференцируемый интеграл
системы (3), то u = ψ(x1 ,.., xn), является решением уравнения (1).
2)
Если u = u1(x1
,.., xn)
const решение уравнения (1), то u1(x1
,.., xn) -
интеграл системы (3).
Доказательство:
1) так как ψ(x1
,.., xn) интеграл системы
(3), то (при подстановке вместо x1
= φ1( ...,xn ),..,
xn - 1 = φn
- 1( ...,xn ) - решения
системы (3), получим постоянную (по
определению интеграла системы):
ψ[x1(xn
) ,.., xn - 1( xn),
xn] (3) = ψ(xn)
= c ; тогда
.
Вычислим полную производную от ψ по xn в силу системы (3):
-
в силу системы (3).
Домножим последние равенства на Аn.
Получим:
Доказательство: 2) u1(x1 ,.., xn) const - решение уравнения (1).
Надо
показать, что
;
[в силу системы (3)
].
(так
как выражение в скобках - это левая часть
уравнения (1), а u1 - решение
этого уравнения).
Следовательно u1(x1 ,.., xn) - интеграл системы (3).
Вывод: задача интегрирования уравнения (1) эквивалентна задаче интегрирования системы (3) (или системы (2)).
Теорема: Если ψ1 ,.., ψn-1 - независимые интегралы системы (3) , то функция u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1), где Φ - произвольная функция, является общим решением дифференциального уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения уравнения (1).
Доказательство: ( от противного ) Пусть существует u = ψ(x1 ,.., xn) - решение уравнения (1); покажем, что ψ не является линейно-независимой, т.е существует функция F, такая, что ψ = F(ψ1 ,.., ψn-1).
Так как ψ1 ,.., ψn -1 - интегралы системы (3), то ψi (i =1 ,.., n-1)- решения уравнения (1). Подставим u = ψ(x1 ,.., xn) и ψi в уравнение(1):
Р
ассмотрим
эту систему, как систему линейных
уравнений относительно Ai
(i =1 ,.., n). Заметим, что в каждой
точке эта система имеет нетривиальное
решение.(так как Ai не
равны нулю одновременно). Отсюда
определитель
системы
должен быть тождественно равен нулю.
Этот определитель:
Тождественное
обращение в нуль Якобиана функций
говорит о том, что между ними существует
функциональная зависимость G
(ψ, ψ1 ,.., ψn
-1) = 0; (*)
В
силу линейной независимости интегралов
ψi(x1
,.., xn) (i =1 ,.., n-1)
существуют по крайней мере один из
миноров (n-1) порядка, отличный от
нуля:
Следовательно (*) можно переписать: ψ = F(ψ1 ,.., ψn-1). Значит ψ не является линейно-независимой по отношению к системе функций ψ1 ,.., ψn -1. Отсюда u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1) - действительно содержит все решения уравнения (1).
Вывод: для отыскания общего решения д.у. в ч.пр.(1) необходимо проинтегрировать систему (2) = (3) и записать общее решение
u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1), где ψ1 ,.., ψn -1 - интегралы системы (2) = (3).
Геометрически этому решению соответствует семейство интегральных поверхностей.
2 ЗАДАЧА КОШИ
Найти u (x1 ,.., xn), удовлетворяющую дифференциальному уравнению:
которая при фиксированном значении одной из независимых переменных обращается в заданную функцию от остальных переменных.
(6) при xn = xn0 u = H (x1 ,.., xn -1).
Общее решение дифференциального уравнения (1) u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1).
Найдем решение уравнения (1), удовлетворяющее н.у.(6). Для этого воспользуемся 1ми интегралами (5) системы (2), положив в них xn = xn0 :
(**)
или
Эта система разрешима в окрестности точки (x10 ,.., xn0) относительно x1 ,.., xn -1 :
Подставим полученные соотношения xi в начальное условие u = H(x1 ,.., xn -1 ) ( H - известная функция) ; так как u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1), то при подстановке (**) получим: u = Φ (c1 ,.., cn -1) = H [ φ1 (c1 ,.., cn -1 ),.., φn -1 (c1 ,.., cn -1) ] ; (где Φ-неизвестная), т.е. мы получили общий вид функции Φ(α1 ,.., αn -1) ; так как общее решение уравнения (1) определяется как Φ(ψ1 ,.., ψn -1), остается вместо сi подставить интегралы ψi :
u ( x1 ,.., xn -1 ) = Φ(ψ 1 ,.., ψn -1) = H [ φ1 (ψ1 ,.., ψn -1 ),..,φn -1 (ψ1 ,.., ψn -1) ]
3
Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.
Уравнения с частными производными можно классифицировать по разным признакам.
Например:
1. По порядку уравнений: Ut=Uxx (уравнение 2-го порядка), Ut=Ux(уравнение 1-го порядка), Ut=Uxxx + sinx (уравнение третьего порядка).
2.
По числу независимых переменных: Ut=Uxx
(уравнение с 2-мя переменными),
-
уравнение с тремя переменными.
3. ДУ с частными производными могут быть линейными и нелинейными. Линейные уравнения в свою очередь бывают однородными и неоднородными.
4. ЛДУ 2-го порядка классифицируются по типу: а) Гиперболический тип ( в области D), если выражение δ(x,y)=B2-AC>0 для любых (x, y) D, где A, B, C - коэффициенты в уравнении (2) б) Эллиптический тип (в области D), если выражение δ(x,y)=B2-AC<0 для любых (x,y) D в) Параболический тип (в области D), если выражение δ(x,y)=B2-AC = 0 для любых (x,y) D.
Отметим, что тип уравнения определяется только коэффициентами A,B,C при производных 2-го порядка. При невырожденной замене переменных тип не меняется.
г) Смешанный тип, если в области D уравнение имеет разный тип в разных точках.
Пример. Рассмотрим уравнение
yUxx + Uyy = 0
Оно возникает в газовой динамике и называется уравнением Трикоми. Для этого уравнения выражение δ(x,y) = B2 - AC = -y. Тогда при y>0 выражение δ(x,y)<0 и уравнение имеет эллиптический тип. При y<0 выражение δ(x,y)>0, следовательно, уравнение гиперболического типа, а при y=0, соответсвенно, δ(x,y)=0 и уравнение имеет параболический тип (см. рис. 1)
Рис. 1
Замечания. 1. Уравнения с постоянными коэффициентами имеют один тип на всей области определения. Так, например, волновое уравнение на плоскости и в пространстве имеет гиперболический тип, уравнение теплопроводности на плоскости и в пространстве - параболический тип, а уравнение Лапласа - эллиптический тип. 2. Классификация ЛДУ с большим числом переменных почти аналогична.
Оололол ещё
Большая часть всех уравнений в частных производных 2го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления).
Остановимся более подробно на случае 2х независимых переменных: u = u(x,y).
a,b,c - функции, определенные в некоторой области Ω = Oxy и имеющие непрерывные производные до 2го порядка.
f - непрерывная функция своих аргументов; если f - линейная относительно u, ux , uy, то уравнение (1) - линейное.
Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных (x, y) привести уравнение (1) к наиболее простому виду.
Введем
новые переменные:
,
и потребуем, чтобы они были
дважды непрерывно-дифференцируемы и
чтобы якобиан перехода:
в
области Ω.
Преобразуем производные к новым переменным:
Тогда уравнение (1) в новых переменных примет вид:
где
Попытаемся выбрать ξ(x, y) и η(x, y) так, чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов A,B,C.
Вопрос об обращении A и С в нуль эквивалентен вопросу о разрешимости дифференциального уравнения 1го порядка.
относительно
неизвестной функции z(x,
y).
Поделим на zy2:
Решим
как квадратное уравнение относительно
:
Решая каждое из них методом характаристик:
-
интегралы системы (*), а, следовательно,
решения уравнения (4).
Уравнения (5) могут быть записаны в виде одного уравнения:
Обычно
это уравнение и используют для определения
интегралов системы (5). Поведение функций
φ(x,
y)
и ψ(x,
y),
а, следовательно, и искомый простейший
вид исходного уравнения зависит от
знака
Определение:
Уравнение (1) называется в некоторой
точке
гиперболического типа, если
эллиптического типа, если
параболического типа, если
Определение:
Если знак
сохраняет
знак, или
в
некоторой области
,
то уравнение является гиперболическим,
эллиптическим или параболическим в
области G1:
Пример:
4
Канонический вид ЛДУ 2-го порядка с частными производными (n=2).
Можно показать, что:
Рассмотрим три случая:
1)
-
уравнение гиперболического типа.
В этом случае уравнения (5) и их общие интегралы вещественны и различны: . Они определяют два вещественных и различных семейства характеристик.
Положим:
Тогда из
получаем,
что A = C = 0; из
получаем,
что
Поделим уравнение на 2B, получим:
Это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа.
С
помощью замены
уравнение
(8) можно привести к виду:
Это вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа.
2)
-
уравнение параболического типа.
Уравнения (5), а следовательно, и их интегралы совпадают, т.е. мы получаем только одно вещественное семейство характристик:
-
имеем одно решение; соответственно
имеем ξ = φ(x, y).
В качестве второй переменной η(x, y) возьмем любую дважды непрерывно-дифференцируемую функцию, для которой:
Тогда
из (3) имеем
;
так как
Покажем,
что
так
как
Если
С = 0 в точке M0, то aηx
+ bηy = 0; добавим уравнение,
определяющее семейство характеристик:
aξx + bξy
= 0; тогда
Рассматривая эту систему, как систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b. Так как а и b не обращаются в нуль одновременно, то у системы существует нетривиальное решение. Следовательно D = 0, так как D = J, то J = 0.
,
что противоречит (*). Значит
.
Поделим (2) на С:
Это каноническая форма уравнения параболического типа.
3)
.
Коэффициенты уравнений (5), а следовательно
и 1ые интегралы уравнений -
комплексные величины.
Пусть
-
один из интегралов (5), тогда другой
интеграл будет комплексно сопряженным
с указанным.
Чтобы
не иметь дела с комплексными переменными,
введем новые переменные
так как ξ = φ(x, y) - интеграл уравнения (5), отсюда - решением уравнения (4).
Разделим в этом тождестве действительные и мнимые части:
Из
(3) и (11) 
[где через
обозначены
идентичные A, B, C функции из (3), только
при новой (α,β) замене].
Из
(7) 
Поделим уравнение (2) на А:
Т.е. для уравнения эллиптического типа после определения 1ых интегралов системы (5) достаточно положить:
Примеры
уравнение
параболического типа всюду:
Пусть ( η = y ).
так как уравнение параболического типа, то A = 0; B = 0;
Дважды интегрируем по переменной η:
Возвращаясь
к исходным переменным, получим общее
решение:
6
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа мы начинаем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны (задача Коши).
(1)
utt - a2 uxx
= 0,
.
(2)
,
t > 0.
Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную.
Уравнение характеристик: dx2 - a2 dt2 = 0 распадается на два уравнения: dx - adt = 0 , dx + adt = 0
интегралами которых являются прямые x - at = c1, x + at = c2.
Вводим, как обычно новые переменные: ξ = x + at, η = x - at. Уравнение колебаний струны преобразуем к виду:
(3) uξ η = 0
Проинтегрируем (3) по переменной ξ :
Проинтегрируем полученное равенство по η и получим:
Итак общее решение дифференциального уравнения (3) может быть записано:
u(ξ, η) = F(ξ) + G(η)
Возвращаясь к исходным переменным (x,t), получаем:
(4) u(x,t) = F(x + at) + G(x - at)
Определим функции F и G таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия. Для этого подставим общее решение в начальные условия (2):
Интегрируя второе равенство, получим:
Из полученных равенств находим:
(5)
Таким образом, мы определили функции F и G через заданные функции φ и ψ . Подставляя в (4) найденные значения получим:
u(x,t) = F(x + at) + G(x - at)
(6)
Формула (6) называется формулой Даламбера.
Она определяет решение задачи Коши для волнового уравнения.
Замечание.
Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами), которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.
. Теорема единственности
Решение краевых задач математической физики сводится к отысканию функции, удовлетворяющей данному уравнению и дополнительным начальным и краевым (граничным) условиям. При этом требуется, чтобы:
1) дополнительные условия были достаточны для выделения единственного решения;
2) среди дополнительных условий не было бы несовместимых.
Первое достигается доказательством теоремы единственности, второе - непосредственным нахождением решения или доказательством теоремы существования.
В качестве примера рассмотрим теорему единственности для уравнения
(1)
где
.
Начальные условия
(2)
В качестве
граничных условий при
рассмотрим любое из трех следующих:
1) граничное условие первого рода (заданный режим)
(3)
2) граничное условие второго рода (заданная сила)
(4)
3) граничное условие третьего рода (упругое закрепление)
(5)
При
граничные условия задаются аналогично.
Комбинируя (3) - (5), получаем шесть типов простейших граничных условий.
Теорема (единственности). Пусть
в уравнении (1) коэффициенты
и
непрерывны на
,
а функции
непрерывны при
и
.
Тогда решение уравнения (1), удовлетворяющее
начальным условиям (2) и граничным
условиям
,
единственно.
Доказательство. Допустим, что
существуют два решения
и
.
Легко проверить, что разность
удовлетворяет однородному уравнению
и однородным начальным и граничным
условиям
(6)
(7)
Докажем, что
.
Рассмотрим функцию
Дифференцируя по
,
получим
.
Проинтегрируем по частям первое
слагаемое:
.
Из граничных условий (7) следует, что
.
Поэтому внеинтегральное слагаемое
равно нулю и
Отсюда и из начальных условий (5) следует, что
(8)
Наконец,
учитывая, что коэффициенты
и
положительны, заключаем, что подынтегральное
выражение в (8) тождественно равно нулю.
Поэтому
и
.
Из начальных условий (6)
,
что приводит к тождеству
.■
Задача. Для уравнения (1) доказать теоремы единственности при граничных условиях второго рода (4) и третьего рода (5).
7
Попробуем решить задачу Коши для неоднородного волнового уравнения с однородными начальными условиями:
Для того чтобы решить задачу (1) для функции u(t,x) найдем сначала решения вспомогательной задачи
Решение этой задачи можно найти, используя формулу Даламбера с введение новой переменной:
Получаем:
Искомое решение задачи (1) будет иметь вид:
Дифференцируем по переменной t
Для этого надо вспомнить формулу:
Используя первое начальное условие вспомогательной задачи, получим:
Дифференцируем по t еще раз:
Воспользуемся вторым начальным условием вспомогательной задачи для W:
Подставим в уравнение (1) и получим:
Так как W-решение вспомогательной задачи
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа мы начинаем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны (задача Коши).
(1) utt - a2 uxx = 0, .
(2) , t > 0.
Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную.
Уравнение характеристик: dx2 - a2 dt2 = 0 распадается на два уравнения: dx - adt = 0 , dx + adt = 0
интегралами которых являются прямые x - at = c1, x + at = c2.
Вводим, как обычно новые переменные: ξ = x + at, η = x - at. Уравнение колебаний струны преобразуем к виду:
(3) uξ η = 0
Проинтегрируем (3) по переменной ξ :
Проинтегрируем полученное равенство по η и получим:
Итак общее решение дифференциального уравнения (3) может быть записано:
u(ξ, η) = F(ξ) + G(η)
Возвращаясь к исходным переменным (x,t), получаем:
(4) u(x,t) = F(x + at) + G(x - at)
Определим функции F и G таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия. Для этого подставим общее решение в начальные условия (2):
Интегрируя второе равенство, получим:
Из полученных равенств находим:
(5)
Таким образом, мы определили функции F и G через заданные функции φ и ψ . Подставляя в (4) найденные значения получим:
u(x,t) = F(x + at) + G(x - at)
(6)
Формула (6) называется формулой Даламбера.
Она определяет решение задачи Коши для волнового уравнения.