П.3.3. Показательная функция, ее свойства и график.

Определение: Функция , где а  0, а  1 называется показательной (с основанием а)

Выясним сущность ограничений а  0, а  1 .

1. а  0, т.к. если а = 0, то при x ≤ 0 выражение не имеет смысла. Например: ;

Если а<0, a x – несократимая дробь, с четным знаменателем, то не имеет смысла. Например :

2. а  1,т.к. если а = 1, то т.е. функция сводится к постоянной.

Многие процессы в природе и технике математически выражаются с помощью показательной функций:

1) задача про радиоактивный распад вещества , где - это масса ве-

щества, начальная масса, - время, и - const.

2) задача о изменении атмосферного давления: атмосферное давление изменяется в зависимости от высоты над уровнем моря по закону: , где - атмосферное давление на уровне моря.

3) задача о размножении бактерий. Их количество изменяется во времени по закону: ; - начальное количество бактерий при , и - const.

4) задача про рост дерева. Дерево растёт так, что количество древесины увеличивается со временем по закону:

5) Если 1 грв. будет положена в банк под 5 % годовых, то её стоимость через лет будет составлять:

Начнём изучение показательных функций с функций у=2^х и у=( )^х.

X	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Y					1	2	4	8	16

X	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Y	16	8	4	2	1

Свойства функции

1. Область определения: х є R

2. Множество значений

3. Ни чётная, ни нечётная (общего вида)

4. Нулей функции нет

5. Промежутки монотонности:

Если , то функция убывает на всей числовой прямой (xєR)

Если , то функция возрастает при xєR

6. Промежутки знакопостоянства: y>0 при xєR

7. График функции проходит через точку (0;1)

8. Асимптота:

Примеры применения свойств показательной функции

1) .Что можно сказать о числах и ?

Решение: основание степени , значит функция с возрастанием , возрастает. Следовательно, .

2) . Что можно сказать о числах и ?

Решение: основание степени , поэтому с возрастанием аргумента, функция убывает. Следовательно > .

3) . Что можно сказать о положительном основании ?

Значение аргумента (10>7) возрастает, а значение функции (a <a убывает, значит функция у=х^а – убывающая, поэтому .

4) Сравнить .

Решение: значение аргумента убывает(-15<-3),и значение функции убывает

(а^-15<а^-3),

значит функция у=а^х – возрастающая, поэтому а>1.

5) Сравнить и 1 .

Решение: Функция у= , при отрицательных значениях принимает значения меньшие 1 (см. график функции y = a^x) Следовательно,

6) Сравнить и 1.

Решение: Функция у= , при отрицательных значениях принимает значения большие 1. Следовательно,

7) Сравнить и

Решение: .