П.2.4 Системы иррациональных уравнений.

Если среди уравнений системы есть иррациональные, то для ее решения, как правило, освобождаются от иррациональности. При этом применяют методы, которые использовали при решении иррациональных уравнений. Приведем пример

решения такой системы.

Введем замену:

Первое уравнение системы имеет вид:

Учитывая замену, получаем систему:

Ответ: (10;6), (6;10)

П.2.5 Иррациональные неравенства.

Иррациональными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную под знаком корня.

При решении иррациональных неравенств применяются следующие теоремы:

1)

2)

Пример 1. Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно системе:

Ответ:

П.2.6 Степенная функция с действительным

Показателем степени, ее свойства и график.

Определение: Функция, заданная формулой называется степенной.

+

Свойства функции:

1. Область определения функции:

если   0, то х  [0; +)

если   0, то х  (0; +)

2. Множество значений функции:

если   0, то у  [0; +)

если   0, то у  (0; +)

3. Четность, нечетность:

функция ни четная, ни нечетная

4. нули функции:

если   0, то у = 0, при х = 0

если   0, то нулей функция не имеет

5. промежутки монотонности:

если   0, то функция возрастает при х  [0; +)

если   0, то функция убывает при х  (0; +)

6. промежутки знакопостоянства:

у  0 при х  (0; +)

7. графики функций проходят через точки:

при   0 : (0;0) , (1;1)

при   0 : (1;1)

8. асимптоты:

при   0 : х = 0 и у = 0

Вопросы для повторения по теме:

Степенная функция.

1.Как называется действие, с помощью которого, зная показатель степени и степень,

можно найти основание степени? Привести пример.

2.Для какого действия извлечение корня является обратным действием? Например.

3.Что называется корнем n − ной степени из числа а? Например.

4. Что называется арифметическим корнем n − ной степени из числа а. Например.

5. Что называется корнем квадратным из числа а? Например.

6. Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а? Например.

7. Какое решение имеет уравнение xⁿ = a, если n − четное, для а > 0, а < 0, a = 0. Например.

8. Какое решение имеет уравнение xⁿ = а, если n − нечетное, для а > 0, a < 0, a = 0.

Например.

9. Решить уравнение: х³ = − 5, х⁴ = 16.

10. Верны ли равенства:

11. Упростить: ; ; ; ; .

12. Сравнить: и ; и ; и .

13. Перечислить свойства корней (корень n − ной степени из произведения, из

частного, корень n − ной степени из корня k − той степени, возведение корня n − ной степени в степень).

14. Как освободиться от иррациональности в знаменателе? Например:

15. Как вынести множитель из под знака корня?

16. Как называется преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня?

17. На каком свойстве корней основывается преобразование, приводящее к понижению степени корня?

18. На каком свойстве корней основывается приведения их к общему показателю?

Например:

19. Какие радикалы называются подобными? Как сложить (вычесть) такие радикалы? Например.

20. Как перемножить несколько корней с одинаковыми показателями? Например.

21. Как разделить корни с одинаковыми показателями степеней? Например.

22. Как возвести корень в степень? Например:

23. Дать определение степени с натуральным показателем. Например.

24. Дать определение степени с целым отрицательным показателем и 0:

а⁰ =

25. Дать определение степени с рациональным показателем:

26. Дать пример степени с иррациональным показателем.

27. Записать основные свойства степени с действительным показателем (умножение,

деление степеней с одинаковым основанием; возведение степени в теперь, возведение в степень произведения и частного 2х выражений).

28. Упростить:

29. Записать в виде степени: ; ;

30. Какие виды степенных функций вам известны?

31. Начертить эскизы графиков четных и нечетных степенных функций. Какое свойство графиков существует у каждого вида?

32. Дать определение степенной функций с действительным показателем.

33. Назвать общие свойства степенных функций(систематизировать по показателю степени).

34. Какие уравнения называются иррациональными?

35. Основные способы решения иррациональных уравнений.

36. Решить уравнения:

37. Почему уравнение не имеет решений?

38. Имеет ли смысл выражение:

39. Решить уравнение: х³ =8;